拓扑空间

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在拓扑和相关分支数学,一个拓扑空间可以被定义为一组的点,与一组沿社区对于每个点,满足一组公理有关点和社区。拓扑空间的定义仅依赖于集合论,并且是数学空间的最通用概念,它允许定义诸如连续性,连通性和收敛性等概念。其他空间,例如歧管和度量空间是具有额外结构或约束的拓扑空间的专业化。拓扑空间是如此笼统,是中心统一概念,并且几乎出现在现代数学的每个分支中。自行研究拓扑空间的数学分支称为点集拓扑或一般拓扑。 ...

拓扑空间

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在拓扑和相关分支数学,一个拓扑空间可以被定义为一组的点,与一组沿社区对于每个点,满足一组公理有关点和社区。拓扑空间的定义仅依赖于集合论,并且是数学空间的最通用概念,它允许定义诸如连续性,连通性和收敛性等概念。其他空间,例如歧管和度量空间是具有额外结构或约束的拓扑空间的专业化。拓扑空间是如此笼统,是中心统一概念,并且几乎出现在现代数学的每个分支中。自行研究拓扑空间的数学分支称为点集拓扑或一般拓扑。

拓扑比较

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可以将各种拓扑放在一组上以形成拓扑空间。当拓扑每一套τ 1也是拓扑τ 2和τ 1的一个子集τ 2,我们说τ 2是细比τ 1和τ 1是粗糙的比τ 2。仅依赖于某些开放集的存在的证明也适用于任何更精细的拓扑,类似地,仅依赖于某些未开放集的证明适用于任何较粗糙的拓扑。术语较大和有时分别使用较小的代替较细的。文献中也使用了“更强”和“更弱”两个术语,但是在含义上几乎没有一致,因此在阅读时应始终确保作者的约定。

拓扑空间

上给定的固定集合中的所有拓扑的集合X形成一个完整的晶格:如果˚F = { τ α | α∈甲}是拓扑的集合X,则满足的˚F是的交点˚F,和加入的˚F是所有拓扑的集合的满足X包含的每一个成员˚F。

连续功能

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函数 ˚F  :X → ý拓扑空间之间被称为连续,若对所有X中X和每个街区Ñ的˚F(X)有一个附近中号的X,使得˚F(中号)⊆ Ñ。这很容易与分析中的通常定义有关。等效地,如果每个开放集的反像都是开放的,则f是连续的。这是一种尝试,以了解函数中没有“跳转”或“分离”的直觉。甲同胚是一个双射是连续的并且其逆也是连续的。两个空间称为同构,如果它们之间存在一个同胚。从拓扑的观点来看,同胚空间本质上是相同的。

在范畴论,顶部,该拓扑空间范畴与拓扑空间为对象,并连续函数为态射,是根本的一个类别。尝试通过不变量对此类对象进行分类(直到同胚),这激发了研究领域,例如同伦论,同源论和K-理论。

拓扑空间的例子

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给定的集合可能具有许多不同的拓扑。如果给定集合不同的拓扑,则将其视为不同的拓扑空间。可以给任何集合以离散拓扑,其中每个子集都是开放的。该拓扑中xxx的收敛序列或网络是最终恒定的序列或网络。同样,任何集合都可以被赋予琐碎的拓扑(也称为离散拓扑),其中只有空集合和整个空间是开放的。此拓扑中的每个序列和网络都收敛到空间的每个点。此示例表明,在一般拓扑空间中,序列的限制不必xxx。但是,拓扑空间通常必须是极限点xxx的Hausdorff空间。

拓扑结构

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可以为拓扑空间的每个子集提供子空间拓扑,其中开放集是较大空间的开放集与子集的交集。对于任何索引族的拓扑空间,可以为乘积指定乘积拓扑,该乘积拓扑是由投影映射下的因子的开放集的逆图像生成的。例如,在有限产品中,产品拓扑的基础由开放集的所有产品组成。对于无限的产品,还存在一个额外的要求,即在一个基本的开放集中,几乎所有其投影都将是整个空间。

甲商空间被定义为如下:如果X是一个拓扑空间和ÿ是一组,并且如果˚F  :X → ý是一个满射 函数,然后在商拓扑ÿ是子集的集合ÿ具有开放逆图像在f下。换句话说,商拓扑是最细拓扑ÿ为其˚F是连续的。商拓扑的一个常见示例是在拓扑空间X上定义了等价关系。地图那么f是对等价类集的自然投影。

该Vietoris拓扑结构上设定一个拓扑空间的所有非空子集的X,命名为莱奥波德·维托里斯,由下面的基础上产生的:每ñ元组ü 1,...,ü ñ的开集在X,我们构建了一个基集,该基集由U i的并集的所有子集组成,这些子集与每个U i具有非空交集。

在费尔拓扑上的集的所有非空闭子集的局部紧 波兰空间 X是Vietoris拓扑的一个变种,并命名后的数学家詹姆斯下跌。它是由下列基础生成的:每ñ元组ü 1,...,ü ñ的开集在X和每个紧集ķ,集合的所有子集的X是不相交ķ和具有非空交叉点每个U i都是基础的成员。

拓扑空间的分类

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拓扑空间可以根据其拓扑性质大致分类,直至同胚。拓扑性质是在同胚性下不变的空间性质。为了证明两个空间不是同胚的,找到它们不共享的拓扑性质就足够了。此类属性的示例包括连接性,紧致性和各种分离公理。有关代数不变量的信息。

具有代数结构的拓扑空间

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对于任何代数对象,我们都可以引入离散拓扑,在该拓扑下,代数运算是连续函数。对于任何这种不是有限的结构,在代数运算仍然是连续的意义上,我们经常具有与代数运算兼容的自然拓扑。这导致了诸如拓扑组、拓扑向量空间、拓扑环和局部场等概念。

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词条目录
  1. 拓扑空间
  2. 拓扑比较
  3. 连续功能
  4. 拓扑空间的例子
  5. 拓扑结构
  6. 拓扑空间的分类
  7. 具有代数结构的拓扑空间

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