伪黎曼流形

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伪黎曼流形,也称为半黎曼流形,在微分几何中是指一光滑流形,其上有一光滑、对称、点点非退化的(0,2)张量。此张量称为伪黎曼度量或伪度量张量。伪黎曼流形与黎曼流形的区别在于它的度量不需要正定,但通常要求非退化。因为每个正定形式都是非退化的,所以黎曼度量也是一个伪黎曼度量,亦即黎曼流形是伪黎曼流形的一种特例。每一个非退化对称,双线性形式有一个固定的度量符号(p,q)。这里p与q记作正特征值及负特征值的...

伪黎曼流形,也称为半黎曼流形,在微分几何中是指一光滑流形,其上有一光滑、对称、点点非退化的(0,2)张量。此张量称为伪黎曼度量或伪度量张量。伪黎曼流形与黎曼流形的区别在于它的度量不需要正定,但通常要求非退化。因为每个正定形式都是非退化的,所以黎曼度量也是一个伪黎曼度量,亦即黎曼流形是伪黎曼流形的一种特例。

测量符号

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每一个非退化对称,双线性形式有一个固定的度量符号 (p,q)。这里 pq 记作正特征值及负特征值的个数。注意 p + q = n 是流形的维数。黎曼流形就是以 (n,0) 作为符号。伪黎曼流形的符号 (p,1) 称为 洛伦兹度量。拥有洛伦兹度量的流形都是洛伦兹流形。除黎曼流形外,洛伦兹流形是伪黎曼流形的最重要的子类。因为它常被用于广义相对论。广义相对论首要假设是时空可以转为拥有 (3,1) 符号的洛伦兹流形的模型。和欧几里得空间 可以被认为是黎曼流形的模型一样, 有平坦闵可夫斯基度量的闵可夫斯基空间(Minkowski space) 是洛伦兹流形的模型空间。特征数为(p,q)的伪黎曼流形的模型空间是有如下伪度量的。

主要区别

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黎曼流形与伪黎曼流形的xxx分别是伪黎曼流形不一定正定,通常是非退化。因为每个正定形式都是非退化的,黎曼度量是伪黎曼度量的一个特殊例子。固此,可以把黎曼流形归纳为伪黎曼流形。

应用领域

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有些黎曼度量的基本定理可以推广到伪黎曼的情形。例如黎曼几何基本定理对伪黎曼流形也成立。这使得我们能够在伪黎曼流形上能够使用列维-奇维塔联络和相关的曲率张量。另一方面,黎曼几何的很多定理在推广到伪黎曼的情况下不成立。例如,并不是每个光滑流形都可以有一个给定符号的伪黎曼度量;因为有一些特殊的拓扑阻碍存在。

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  1. 测量符号
  2. 主要区别
  3. 应用领域

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