四边形

由不在同一直线上的不交叉的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形，由凸四边形和凹四边形组成。顺次连接任意四边形上的中点所得四边形叫中点四边形，中点四边形都是平行四边形。菱形的中点四边形是矩形，矩形中点四边形是菱形，等腰梯形的中点四边形是菱形，正方形中点四边形就是正方形。

由不在同一直线上的不交叉的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形或立体图形叫四边形。

四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧。平行四边形(包括：普通平行四边形，矩形，菱形，正方形)。梯形(包括：普通梯形，直角梯形，等腰梯形)。凸四边形的内角和和外角和均为360度。

凹四边形四个顶点在同一平面内，对边不相交且作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧。依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。中点四边形的形状取决于原四边形的对角线。若原四边形的对角线垂直，则中点四边形为矩形；若原四边形的对角线相等，则中点四边形为菱形；若原四边形的对角线既垂直又相等，则中点四边形为正方形。

四边形不具有三角形的稳定性，易于变形。但正是由于四边形不稳定具有的活动性，使其在生活中有广泛的应用，如拉伸门等拉伸、折叠结构。

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)。

（1）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。（简述为“平行四边形的两组对边分别相等”）（2）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。（简述为“平行四边形的两组对角分别相等”）（3）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补（简述为“平行四边形的邻角互补”）（4）夹在两条平行线间的平行线段相等。（5）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分。（简述为“平行四边形的对角线互相平分”）

（1）如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”）（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”）（3）如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”）（4）如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”）（5）如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。（简述为“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”）

平行四边形的面积公式：

，用“h”表示高，“a”表示底，“S”表示平行四边形面积，则

。

，用“a”、“b”表示两邻边，“C”表示平行四边形的周长，则

。

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle)。

（1）矩形的四个角都是直角；（2）矩形的对角线相等且互相平分。

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形：（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）对角线相等且互相平分的四边形是矩形；（4）有三个角是直角的四边形是矩形（两个角是直角的同旁内角的四边形不是矩形是梯形）。

设矩形的两条邻边长分别为a，b，则面积(S)为ab。

设矩形的两条邻边长分别为a，b，则周长（C)为

。

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus)。

（1）菱形的四条边都相等；（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。注意：菱形也具有平行四边形的一切性质。

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（4）有一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；（5）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

（1）对角线乘积的一半（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）；（2）设菱形的边长为a，一个夹角为

，则面积公式是:

。

用“a”表示菱形的边长，“C”表示菱形的周长，则

。

有一组邻边相等并且有一角是直角的平行四边形叫做正方形(square)。

（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（2）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

因为正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，所以判定正方形有三个途径：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形。（

）（2）有一个角是直角的菱形是正方形。（

）（3）两条对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形。

（1）正方形面积=边长的平方

（S表示正方形的面积，a表示正方形的边长）。（2）对角线乘积的一半。

用“a”表示正方形的边长，“C”表示正方形的周长，则

。

梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezium)（一组对边平行且不相等的四边形叫做梯形）。等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形(isosceles trapezium)。

直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

（1）等腰梯形两腰相等、两底平行；（2）等腰梯形在同一底上的两个内角相等；（3）等腰梯形的对角线相等(可能垂直）；（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴。

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

（1）梯形的面积公式：

。（2）

。

梯形的周长=上底+下底+腰+腰 用“a”、“b”、“c”、“d”分别表示梯形的上底、下底、两腰，“C”表示梯形的周长，则

。

四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形。

（1）圆内接四边形的对角互补。（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。（3）圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。（托勒密定理）

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上。

圆内接四边形面积

。（a,b,c,d为四边形的四边长，其中

）

连接四边形任意两个不相邻顶点的线段（四边形有两条对角线）。

四边形面积等于两条对角线的积的一半。例：四边形ABCD中，

，则

对角线垂直的特殊四边形有：菱形、正方形、特殊梯形。