时间离散化

时间离散化是一种应用于应用物理和工程领域中发生的瞬态问题的数学技术。瞬态问题通常通过使用计算机辅助工程(CAE)软件包进行模拟来解决，这需要在空间和时间上离散化控制方程。这些问题是不稳定的（例如流动问题），因此需要位置随时间变化的解决方案。时间离散化涉及在时间步长(Δt)上对不同方程中的每个项进行积分。

时间离散化是通过在一般离散方程上随时间积分来完成的。首先，假定时间间隔t处给定控制体积P的值，然后找到时间间隔t+Δt处的值。该方法表明给定变量的时间积分等于当前值和未来值之间的加权平均值。方程的积分形式可以写为：披n+1-披nΔt__=f⋅F(披n+1)+(1-f)⋅F(披n),{displaystyle{frac{varphi{n+1}-varphi{n}}{Deltat}}=fcdotF(varphi{n+1})+(1-f)cdotF(varphi{n}),}其中ƒ是介于0和1之间的权重。ƒ=0.0导致完全显式方案。ƒ=1.0导致完全隐式方案。ƒ=0.5导致Crank-Nicolson方案。对于任何控制体积，这种积分对任何离散变量都适用。当应用于包括完全离散扩散、对流和源项的控制方程时，将获得以下方程。∫吨t+ΔtF()_dt=[f⋅F披t+Δt+(1-f)⋅F披吨]Δt_{displaystyleintlimits_{t}{t+Deltat}F(varphi),dt=[fcdotF_{varphi}{t+Deltat}+(1-f)cdotF_{varphi}{t}],Deltat}

披{displaystylevarphi})将时间导数离散化后，函数F(披{displaystylevarphi})仍有待评估。该函数现在使用隐式和显式时间积分进行评估。

此方法评估函数F(披{displaystylevarphi})在未来的时间。

使用隐式时间积分的评估如下：披n+1-披nΔt_=F(披n+1),{displaystyle{frac{varphi{n+1}-varphi{n}}{Deltat}}=F(varphi{n+1}),}这称为隐式积分披n+1{displaystylevarphi{n+1}}在给定的单元格中与披n{displaystylevarphi{n}}在相邻的细胞中通过F(披n+1){displaystyleF(varphi{n+1})}：披n+1=披n+ΔtF(披n+1),displaydisplaystylevarphi{n+1}=varphi{n}+DeltatF（varphi{n+1}），在隐式方法的情况下，设置是无条件稳定的，可以处理大的时间步长（Δt）。但是，稳定并不意味着准确。因此，大的Δt会影响精度并定义时间分辨率。但是，行为可能涉及需要解决的物理时间尺度。

此方法评估函数F(披{displaystylevarphi})在当前时间。

使用显式时间积分的评估如下：披n+1-披nΔt_=F(披n),{displaystyle{frac{varphi{n+1}-varphi{n}}{Deltat}}=F(varphi{n}),}并且被称为显式集成，因为披n+1{displaystylevarphi{n+1}}可以在现有解决方案值中明确表示，披n{displaystylevarphi{n}}：披n+1=披n+Δt_F(披n),{displaystylevarphi{n+1}=varphi{n}+Deltat,F(varphi{n}),}这里，时间步长(Δt)受求解器稳定性限制的限制（即，时间步长受Courant-Friedrichs-Lewy条件限制。为了准确地表示时间，应该在所有域中使用相同的时间步长，并且要稳定，时间步长必须是域内所有本地时间步长中的最小值，这种方法也称为全局时间步长。

许多方案使用显式时间积分。其中一些如下：

• Lax-Wendroff方法。
• 龙格-库塔法。