半群行动

在代数和理论计算机科学中，半群在一个集合上的行动或行为是一个规则，它把一个集合的变换与半群的每个元素联系起来，使半群的两个元素的乘积（使用半群操作）与两个相应的变换的组合联系起来。这个术语表达了这样的意思：半群的元素是作为集合的变换而行动的。从代数的角度来看，半群操作是群论中群操作概念的概括。从计算机科学的角度来看，半群行动与自动机密切相关：集合模拟自动机的状态，行动模拟该状态在输入时的转换。一个重要的特例是单数行动或行为，其中半群是一个单数，单数的身份元素作为集合的身份转换。从范畴理论的角度来看，单体是一个有一个对象的范畴，而行为是一个从该范畴到集合范畴的放函数。这立即提供了对集合类别以外的类别中的对象的单类行为的概括。另一个重要的特例是转换半群。这是一个集合的变换半群，因此它对该集合有一个同义的作用。这个概念通过卡利定理的类似物与更一般的半群概念相联系。

让S是一个半群。那么S的一个（左）半群行动（或行为）是一个集合X以及一个操作-：S×X→X，它与半群操作∗兼容，如下所示。对于S中的所有s、t和X中的x，s-(t-x)=(s∗t)-x。这在半群理论中是（左）群作用的类似物，相当于一个半群同构到X上的函数集。右半群行动的定义与此类似，使用一个操作-：X×S→X，满足(x-a)-b=x-(a∗b)。如果M是一个单体，那么M的（左）单体作用（或行为）是M的（左）半群作用，其附加属性为对于X中的所有x：e-x=x，其中e是M的身份元素。这相应地给出了一个单体同构。右边的单体行动也是以类似方式定义的。一个在集合上有作用的单体M也被称为运算单体。S在X上的半群作用可以通过在半群上加入一个身份，并要求它作为X上的身份变换而被变成单体作用。

如果S是一个半群或单体，那么S对其有上述作用的集合X（比如说在左边）也被称为（左边）S-行为、S-集合、S-行为、S-运算或S上的左行为。一些作者不区分半群和单体行为，当没有身份元素时，将身份公理（e-x=x）视为空，或者用单元S-行为这一术语来表示有身份的S行为。行为的定义属性类似于半群操作的关联性，意味着所有括号都可以省略。通常的做法是，特别是在计算机科学中，也省略操作，这样，半群操作和行为都是通过并列来表示的。

这样，S中的字母串就作用于X，如表达式stx中的s、t在S中，x在X中。使用右行为而不是左行为也是很常见的。然而，每一个右S行为都可以解释为在相反的半群上的左行为，该半群具有与S相同的元素，但其中的乘法是通过颠倒因子来定义的，即s-t=t-s，所以这两个概念本质上是等同的。这里我们主要采用左行为的观点。