继任函数

在数学中，继任函数或继任运算将一个自然数发送到下一个自然数。继任函数用S表示，所以S(n)=n+1。例如，S（1）=2，S（2）=3。后继函数是用于构建原始递归函数的基本组件之一。

继任运算在零点超运算的背景下也被称为Zeration。H0(a,b)=1+b。在这种情况下，Zeration的扩展是加法，它被定义为重复继承。

继任函数是用于陈述佩阿诺公理的形式化语言的一部分，它将自然数的结构形式化。在这种形式化中，继任函数是自然数上的一个原始操作，在此基础上定义了标准自然数和加法。例如，1被定义为S(0)，自然数上的加法被递归地定义为。

这可以用来计算任何两个自然数的加法。例如，5+2=5+S（1）=S（5+1）=S（5+S（0））=S（S（5+0））=S（S（5））=S（6）=7。在集合理论中，已经提出了几种自然数的构造。

例如，约翰-冯-诺伊曼将数字0构造为空集{}，将n的后继者S(n)构造为集n∪{n}。然后，无限公理保证了一个包含0并且相对于S来说是封闭的集合的存在。最小的这样的集合用N表示，其成员被称为自然数。

继任函数是无限Grzegorczyk层次的超运算的0级基础，用于建立加法、乘法、指数化、四分法等。1986年，在一项涉及超运算模式泛化的调查中对它进行了研究。它也是递归函数的可计算性特征中使用的原始函数之一。