近乎周期性函数

在数学中，近乎周期性函数，宽泛地说，是一个实数的函数，其周期性在任何所需的精度水平内，给定适当长的、分布良好的近乎周期。这个概念首先由哈拉尔-玻尔研究，后来由维亚切斯拉夫-斯捷潘诺夫、赫尔曼-魏尔和阿布拉姆-萨莫伊洛维奇-贝西科维奇等人概括。在局部紧凑的非线性群上也有一个几乎周期性函数的概念，首先由约翰-冯-诺伊曼研究。几乎周期性是动态系统的一个属性，它似乎在相空间中回溯了它们的路径，但并不准确。一个例子是一个行星系统，其轨道上的行星以不相称的周期运动（即周期向量与整数向量不相称）。克罗内克（Kronecker）的一个关于二项式近似的定理可以用来表明，任何特定的配置，只要出现一次，就会在任何指定的精度内重复出现：如果我们等待足够长的时间，我们可以观察到行星都会在一秒的弧度内回到它们曾经的位置。

近乎周期函数有几个不对等的定义。xxx个是由哈拉尔-玻尔给出的。他的兴趣最初是在有限的迪里切特级数上。事实上，通过截断Riemannzeta函数ζ(s)的数列，使其成为有限的，我们可以得到以下类型的项的有限和s写成（σ+it）--其实部σ和虚部it之和。固定σ，所以把注意力限制在复平面的一条垂直线上，我们也可以把它看作是{displaystylen{sigma}e{(logn)it}.,}取这样的有限项之和，可以避免分析延续到σ<1的区域的困难。在这里，"频率"logn不会都是可交换的（它们在有理数上是线性独立的，就像整数n是乘法独立的一样--这归结于它们的质因数）。有了这个考虑具有独立频率的三角多项式类型的最初动机，数学分析被应用于讨论这组基本函数的闭合，在各种规范中。在20世纪20年代和30年代，贝西科维奇、斯捷潘诺夫、韦尔、冯-诺伊曼、图灵、波赫纳等人利用其他规范发展了该理论。

波尔（1925）将统一几乎周期性函数定义为三角多项式对统一规范的闭合度(关于R上的有界函数f)。换句话说，如果对于每一个ε>0，有一个正弦波和余弦波的有限线性组合，与f的距离小于ε的统一规范，那么函数f是均匀几乎周期性的。玻尔证明，这个定义等同于存在一个相对密集的ε几乎周期，对于所有的ε>0：即翻译T（ε）=T的变量t使Bochner(1926)提出的另一个定义与玻尔的定义相当，而且陈述起来相对简单。如果函数f的每一个平移序列{ƒ(t+Tn)}都有一个子序列，在(-∞,+∞)中的t均匀地收敛，那么这个函数就是几乎周期性的。玻尔几乎周期性函数与实数的玻尔紧凑化上的连续函数基本相同。

斯捷潘诺夫几乎周期函数的空间Sp（对于p≥1）是由V.V.斯捷潘诺夫（1925）提出的。它包含玻尔几乎周期函数的空间。它是三角多项式在规范下的闭合。{displaystyle|f|_{S,r,p}=sup_{x}left({1overr}int_{x}{x+r}|f(s)|{p},dsright){1/p}}对于任何固定的正值r；对于不同的r值，这些准则给出了相同的拓扑结构，因此是相同的近乎周期函数空间（尽管这个空间的准则取决于对r的选择对于任何固定的r的正值；对于不同的r值，这些规范给出了相同的拓扑结构，因此也是相同的几乎周期函数空间（尽管这个空间的规范取决于r的选择）。

Weyl近乎周期函数的Wp空间（对于p≥1）是由Weyl（1927）提出的。它包含斯捷潘诺夫几乎定期函数的空间Sp。它是三角多项式在半规范下的闭合状态警告：有一些非零函数ƒ的||ƒ||W,p=0，比如任何紧凑支持的有界函数，所以要得到一个Banach空间，必须通过这些函数商出来。

贝西科维奇近周期函数空间Bp是由贝西科维奇（1926）提出的。