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夏皮罗多项式 编辑

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夏皮罗多项式

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在数学中,夏皮罗多项式是一个多项式序列,是哈罗德-S-夏皮罗在1951年考虑特定三角和的大小时首次研究的。在信号处理中,夏皮罗多项式具有良好的自相关特性,其在单位圆上的数值很小。该序列的前几个成员是其中第二序列,用Q表示,被称为是对xxx序列的补充,用P表示。夏皮罗多项式Pn(z)可以由Golay-Rudin-Shapiro序列an构建,如果n的二进制扩展中连续的1对数目是偶数,则等于1,否则等于1。因此a0=1,a1=1,a2=1,a3=-1,等等。xxx个夏皮罗Pn(z)是幂级数的2n-1(其中n=0,1,2,...)阶的偏和f(z):=a0+a1z+a2z2+...Golay-Rudin-Shapiro序列{an}具有类似分形的结构--例如,an=a2n--这意味着子序列(a0,a2,a4,...)会复制原始序列{an}。这又导致了f(z)所满足的显著的函数方程。第二个或补充的夏皮罗多项式Qn(z)可以用这个序列来定义,或者用Qn(z)=(1-)nz2n-1Pn(-1/z)的关系,或者用递推的方式定义

夏皮罗多项式

夏皮罗多项式的属性

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对应于Pn的互补多项式Qn序列由以下属性xxx地表征。(i)Qn的度数为2n-1;(ii)Qn的系数均为1或-1,其常数项等于1;(iii)同理数|Pn(z)|2+|Qn(z)|2=2(n+1)在单位圆上成立,其中复数变量z的xxx值为1。{Pn}最有趣的性质是Pn(z)的xxx值在单位圆上以2(n+1)的平方根为界,这与Pn的L2规范的顺序相同。系数来自集合{-1,1}的多项式,其在单位圆上的xxx模数接近其平均模数,对于通信理论中的各种应用(如天线设计数据压缩)很有用。属性(iii)表明,(P,Q)构成Golay对。这些多项式有进一步的特性。{displaystyleP_{n}(1)=2{{lfloor(n+1)/2rfloor};{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1){n})2{{lfloorn/2rfloor-1}.,}


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