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近似理论

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在数学中,近似理论关注的是如何用更简单的函数进行最佳的近似,以及定量地描述由此带来的误差。请注意,什么是xxx的和更简单的将取决于应用。一个密切相关的课题是用广义傅里叶数列对函数进行逼近,也就是基于正交多项式的数列之和的逼近。一个特别令人感兴趣的问题是在计算机数学库中近似一个函数,使用可以在计算机或计算器上执行的操作(例如加法和乘法),使结果尽可能接近实际的函数。这通常是用多项式或有理数(多项式的比率)近似来完成的。其目的是使近似值尽可能接近实际函数,通常其精度接近于底层计算机的浮点运算。这可以通过使用高度的多项式和/或缩小多项式近似函数的域来实现。缩小域通常可以通过使用被近似的函数的各种加法或缩放公式来实现。现代数学库通常将域缩小为许多小段,并对每段使用低度多项式。

最佳多项式

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一旦选择了域(通常是一个区间)和多项式的度数,那么多项式本身的选择要使最坏情况下的误差最小。也就是说,我们的目标是最小化以下的xxx值∣P(x)-f(x)∣{displaystyle/midP(x)-f(x)/mid},其中P(x)是一个在中国的数据,而f(x)是一个在中国的数据。其中P(x)是近似多项式,f(x)是实际函数,x在所选区间内变化。对于行为良好的函数,存在一个N次方的多项式,它将导致误差曲线在以下范围内来回摆动.可以看出,存在一个N度的多项式,可以插值曲线上的N+1个点。这样的多项式总是最优的。对于不存在这样的多项式的函数f(x)来说,是有可能的,但在实践中很少发生。例如,右图显示了N=4时对log(x)和exp(x)的近似误差。最佳多项式的红色曲线是水平的,也就是说,它们在以下几条曲线之间摇摆不定正是如此。请注意,在每种情况下,极值的数量是N+2,也就是6。为了证明这在一般情况下是真实的,假设P是一个N度的多项式,具有所述的性质,即它产生的误差函数有N+2个极值,符号交替且大小相等。

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右边的红图显示了N=4时这个误差函数可能是什么样子。假设Q(x)(其误差函数在右边显示为蓝色)是另一个N度的多项式,它比P更好地接近f。特别是,对于P-f的极值出现的每个值xi,Q都比P更接近f,所以因此,从图中可以看出,[P(x)-f(x)]-[Q(x)-f(x)]对于xi的N+2个值必须交替使用符号。但是[P(x)-f(x)]-[Q(x)-f(x)]还原为P(x)-Q(x),这是一个N度的多项式。这个函数至少有N+1次符号变化,所以根据中间值定理,它有N+1个零,这对于N度的多项式是不可能的。

切比雪夫近似法

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人们可以通过用切比雪夫多项式扩展给定的函数,然后在所需的度数上切断扩展,从而获得非常接近最优的多项式。这与函数的傅里叶分析类似,使用切比雪夫多项式而不是通常的三角函数。如果人们计算一个函数的切比雪夫展开中的系数。然后切断这个系列


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