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曲线拟合

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曲线拟合是构建一条曲线或数学函数的过程,它对一系列数据点具有最佳的拟合效果,并可能受到限制。曲线拟合可以包括插值,即需要精确地拟合数据,也可以包括平滑,即构造一个平滑的函数来近似地拟合数据。一个相关的主题是回归分析,它更侧重于统计推断的问题,例如,在拟合有随机误差的数据的曲线中,有多少不确定性存在。拟合曲线可以作为数据可视化的辅助工具,在没有数据的情况下推断函数的值,并总结两个或多个变量之间的关系。外推法是指在观察到的数据范围之外使用拟合曲线,它有一定程度的不确定性,因为它可能反映了用于构建曲线的方法,也反映了观察到的数据。对于数据的线性代数分析,拟合通常是指试图找到一个点与曲线的垂直(Y轴)位移最小的曲线(例如,普通最小二乘法)。然而,对于图形和图像应用,几何拟合试图提供最佳的视觉拟合;这通常意味着试图最小化与曲线的正交距离(例如,总最小二乘法),或以其他方式包括一个点与曲线的两轴位移。几何拟合并不流行,因为它们通常需要非线性和/或迭代计算,尽管它们具有更美观和几何精确结果的优势。

函数的代数拟合

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最常见的是拟合一个y=f(x)形式的函数。将直线和多项式函数拟合到数据点上一级多项式方程y=ax+b{displaystyley=ax+b;}是一条斜率为a的直线。一条直线将连接任何两点,因此一阶多项式方程是通过具有不同x坐标的任何两点的精确拟合。如果方程的阶数增加到二度多项式,则结果如下。这将精确地拟合一条简单的曲线到三个点。如果将方程的阶数增加到三度多项式,就会得到以下结果。一个更普遍的说法是,它将完全适合四个约束。每个约束可以是一个点,一个角度,或一个曲率(这是一个摆动圆的半径的倒数)。角度和曲率约束最常被添加到曲线的两端,在这种情况下被称为末端条件。相同的末端条件经常被用来确保在一条花键中包含的多项式曲线之间的平滑过渡。更高阶的约束条件,例如曲率的变化,也可以被加入。例如,这在高速公路上的苜蓿叶设计中是很有用的,可以了解汽车在经过苜蓿叶时受力的变化率(见抽动),并据此设定合理的速度限制。一度多项式方程也可以是一个单点和一个角度的精确拟合,而三度多项式方程也可以是两个点、一个角度约束和一个曲率约束的精确拟合。对于这些方程和高阶多项式方程来说,还有许多其他的约束组合是可能的。如果有超过n+1的约束条件(n是多项式的度数),多项式曲线仍然可以通过这些约束条件来运行。

曲线拟合

对所有约束条件的精确拟合是不确定的(但可能会发生,例如,在一个一度的多项式精确拟合三个相邻点的情况下)。然而,一般来说,需要一些方法来评估每个近似值。最小二乘法是比较偏差的一种方法。当有可能简单地增加多项式方程的度数并得到精确的匹配时,有几个理由给出了得到近似匹配的理由。即使存在精确的匹配,也不一定能轻易发现它。根据所使用的算法,可能会出现分歧的情况,即无法计算出精确的匹配,或者需要花费太多计算机时间来找到解决方案。这种情况可能需要一个近似的解决方案。在样本中平均化有问题的数据点,而不是扭曲曲线来精确拟合它们,这种效果可能是可取的。Runge现象:高阶多项式可能具有高度的振荡性。如果一条曲线穿过A和B两点,那么可以预期,曲线在A和B的中点附近也会有一定的运行。这可能不会发生在高阶多项式曲线上;它们甚至可能有非常大的正负幅度的值。对于低阶多项式


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