离散微积分

离散微积分或离散函数的微积分，是对增量变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，代数是对算术运算的概括研究一样。微积分这个词是一个拉丁语词，原意是指小鹅卵石；由于这种鹅卵石被用于计算，这个词的含义也发生了变化，今天通常指一种计算方法。同时，微积分，最初被称为无穷小微积分或无穷小微积分，是对连续变化的研究。离散微积分有两个切入点：微分微积分和积分微积分。差分微积分涉及变化率的递增和单片线性曲线的斜率。积分微积分关注的是数量的积累和零散的恒定曲线下的面积。这两个观点通过离散微积分的基本定理相互关联。对变化概念的研究从它们的离散形式开始。其发展取决于一个参数，即增量Δx。自变量的增量。如果我们这样选择，我们可以使增量越来越小，并找到这些概念的连续对应物作为极限。非正式地讲，离散微积分的极限为Δx→0是无穷小微积分。是无限小的微积分。尽管它作为微积分的离散基础，离散微积分的主要价值在于应用。

离散微积分是研究函数的差商的定义、性质和应用。寻找差商的过程被称为微分。给定一个定义在实线上几个点的函数，该点的差商是编码该函数的小范围（即从该点到下一个点）行为的一种方式。通过找到一个函数在其域中每一对连续点的差商，就有可能产生一个新的函数，称为差商函数或只是原函数的差商。在形式上，差商是一个线性算子，它将一个函数作为其输入，并产生第二个函数作为其输出。这比初级代数中研究的许多过程更加抽象，在初级代数中，函数通常输入一个数字，输出另一个数字。例如，如果倍增函数的输入是3，那么它的输出是6；如果平方函数的输入是3，那么它的输出是9。然而，导数可以把平方函数作为输入。

这意味着导数获取了平方函数的所有信息--例如，2被送入4，3被送入9，4被送入16，等等，并使用这些信息来产生另一个函数。通过对平方函数进行微分而产生的函数被证明是接近于倍增函数的东西。假设这些函数是在相隔一个增量的点上定义的作为输入，也就是所有的信息--例如，2被发送到4，3被发送到9，4被发送到16，等等--并使用这些信息来输出另一个函数，即函数如同将要发生的那样。为方便起见，新函数可以定义在上述区间的中间点。