有限差分

有限差分是一个数学表达式，其形式为f（x+b）-f（x+a）。如果一个有限差分除以b-a，就会得到一个差分商。通过有限差分对导数进行逼近，在微分方程数值解的有限差分方法中起着核心作用，特别是边界值问题。差分算子，通常表示为差分方程是一个涉及有限差分算子的函数方程，其方式与微分方程涉及导数的方式相同。差分方程和微分方程之间有许多相似之处，特别是在求解方法方面。某些递归关系可以通过用有限差分代替迭代符号写成差分方程。在数值分析中，有限差分被广泛用于求导数的近似，有限差分一词常被用作导数的有限差分近似的缩写。在上面采用的术语中，有限差分近似是指有限差分商。

通常认为有三种基本类型：前向、后向和中心有限差分。当省略时，h被认为是1；也就是说。与导数的关系有限差分经常被用作导数的近似值，通常用于数值微分。一个函数f在某一点x的导数是由极限定义的。

如果h有一个固定的（非零）值，而不是趋近于零，因此，当h很小的时候，正向差分除以h就可以接近导数。这个近似的误差可以从泰勒定理中得到。假设f是两次可微的，我们有然而，中心差分法的主要问题是，振荡函数可能产生零导数。如果f(nh)=1为奇数，f(nh)=2为偶数，那么如果用中心差分法计算，f′(nh)=0。如果f的域是离散的，这就特别麻烦了。另见对称导数对于有限差分意味着有限差分近似的作者，将前向/后向/中心差分定义为本节中给出的商。

以类似的方式，我们可以得到高阶导数和微分的有限差分近似值。