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迭代方法 编辑

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迭代方法

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在计算数学中,迭代方法是一种数学程序,它使用一个初始值来生成一类问题的一连串改进的近似解,其中第n个近似解是由以前的近似解衍生出来的。迭代方法的具体实现,包括终止标准,就是迭代方法的算法。如果相应的序列在给定的初始近似值下收敛,则迭代方法被称为收敛。通常会对迭代方法进行数学上严格的收敛分析;然而,基于启发式的迭代方法也很常见。相反,直接方法试图通过有限的操作序列来解决问题。在没有四舍五入误差的情况下,直接方法将提供一个精确的解决方案(例如,解决一个线性方程组的{displaystyleA/mathbf{x}=/mathbf{b}}}。}通过高斯消除法)。迭代方法往往是非线性方程的xxx选择。然而,迭代方法甚至对涉及许多变量的线性问题(有时是数百万的数量级)也常常是有用的,在这些问题上,即使有xxx的计算能力,直接方法也是昂贵的(在某些情况下是不可能的)。

有吸引力的固定点

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如果一个方程可以被转化为f(x)=x的形式,并且一个解x是函数f的一个有吸引力的固定点,那么我们可以从x的吸引力盆地中的一个点x1开始,并且让xn+1=f(xn),对于n≥1,序列{xn}n≥1将收敛到解x上。这里xn是x的第n次逼近或迭代,xn+1是x的下一次或n+1次迭代。另外,括号内的上标在数值方法中经常使用,以避免与其他含义的下标相干扰。(例如,x(n+1)=f(x(n))。如果函数f是可连续微分的,收敛的充分条件是导数的谱半径在固定点的附近严格地被1所约束。如果这个条件在固定点上成立,那么一定存在一个足够小的邻域(吸引盆地)。

线性系统

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在线性方程组的情况下,两大类迭代方法是静止迭代方法和更普遍的Krylov子空间方法。

迭代方法

静态迭代方法简介

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静态迭代方法用一个近似于原始算子的算子求解一个线性系统;并根据对结果的误差(残差)的测量,形成一个修正方程,对其重复这一过程。虽然这些方法的推导、实现和分析都很简单,但只对有限的一类矩阵保证收敛性。

迭代方法的定义

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一个迭代方法的定义是{displaystyle{mathbf{x}}:=Psi(mathbf{x}{k}){k+1}:=Psi(mathbf{x}{k}),,quadkgeq0}。而对于一个给定的线性系统{displaystyleA/mathbf{x}=/mathbf{b}}的线性系统。}有精确的解决方案如果存在一个矩阵,那么这种迭代方法被称为线性方法

迭代方法的例子

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静态迭代方法的基本例子使用矩阵的分裂{displaystyleU}是A{displaystyleA}的严格上三角部分。


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词条目录
  1. 迭代方法
  2. 有吸引力的固定点
  3. 线性系统
  4. 静态迭代方法简介
  5. 迭代方法的定义
  6. 迭代方法的例子

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