多层次蒙特卡洛方法

数值分析中的多层次蒙特卡洛（MLMC）方法是计算随机模拟中出现的预期的算法。正如蒙特卡洛方法一样，它们依赖于重复的随机抽样，但这些抽样是在不同的精度水平上进行的。MLMC方法可以xxx降低标准MonteCarlo方法的计算成本，它以较低的精度和相应的低成本抽取大部分样本，而只以较高的精度和相应的高成本抽取极少数样本。

多级蒙特卡洛方法的目标是近似预期值{displaystyle{E}操作者名称{E}}。[G_{L}]=operatorname{E}[G_{0}]+sum_{ell=1}{L}operatorname{E}。[G_{0}]+sum_{ell=1}{L}/operatorname{E}。[G_{ell}-G_{ell-1}],}。由于期望算子的线性，该算子可以得到琐碎的满足。每个期望然后用蒙特卡洛方法进行近似，形成了多级蒙特卡洛方法。请注意，对差值进行抽样{displaystyleG_{ell}-G_{ell-1}}在水平上的变化。{displaystyleellrightarrowinfty}，如果两个人都是这样，就会出现这种情况。，这将是一种情况，如果两个.根据中心极限定理，这意味着我们需要越来越少的样本来准确地近似差值的期望值{displaystyle0}，这里的样本很便宜。这里的样本很便宜，只有很少的样本需要在最细的级别上采集。

L{displaystyleL}。.在这个意义上，MLMC可以被认为是一种递归控制变量策略。应用MLMC的xxx个应用归功于MikeGiles，在期权定价的随机微分方程（SDE）的背景下，然而，更早的痕迹是在Heinrich在参数积分的工作中发现的。这里，随机变量{displaystyleG=f(X(T))}被称为报酬函数。被称为报酬函数，而近似序列为MLMC在不确定性量化（UQ）问题上的应用是一个活跃的研究领域。

这些问题的一个重要原型是具有随机系数的偏微分方程（PDEs）。在这种情况下，随机变量G{displaystyleG}被称为感兴趣的量。在这种情况下，随机变量G{displaystyleG}被称为感兴趣的数量，而近似序列对应于不同网格大小的PDE离散化。

一个简单的MLMC仿真的水平适应性算法在下面的伪代码中给出。L←0{displaystyleLgets0}。

在水平上采取预热样本

多级蒙特卡洛方法最近的扩展包括多指数蒙特卡洛，其中考虑了一个以上的细化方向，以及MLMC与准蒙特卡洛方法的结合。