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牛顿分形 编辑

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牛顿分形

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牛顿分形是复平面上的一个边界集,它的特征牛顿方法应用于固定多项式p(Z)∈ℂ[Z]或超越函数。它是由牛顿方法给出的子母函数z↦z-p(z)/p′(z)的朱利亚集。当没有吸引人的循环(阶数大于1)时,它将复平面划分为Gk区域,每个区域都与多项式的一个根ζk相关,k=1,...,deg(p)。这样一来,牛顿分形与曼德布罗特集相似,与其他分形一样,它表现出一种由简单描述产生的复杂的外观。它与数值分析有关,因为它表明(在二次收敛的区域之外)牛顿方法对其起始点的选择可能非常敏感。几乎复平面上的所有点都与一个给定的多项式的deg(p)根相关,其方式如下:该点被用作牛顿迭代的起始值z0zn+1:=zn-p(zn)/p'(zn),产生一个点序列z1,z2,...,如果该序列收敛到根ζk,那么z0是区域Gk的一个元素。然而,对于每一个至少2度的多项式,都有牛顿迭代不收敛于任何根的点:例子是各种根的吸引盆地的边界。甚至有一些多项式,其起点的开放集不能收敛到任何根:一个简单的例子是z3-2z+2,其中一些点被循环0,1,0,1...而不是根所吸引。一个开放的集合,其迭代收敛于一个给定的根或循环(不是一个固定点),是迭代的法图集。所有这些集合的互补集是朱利亚集。法图集有共同的边界,即朱利亚集。因此,Julia集的每个点都是每个Fatou集的累积点。正是这一特性导致了朱利亚集的分形结构(当多项式的度数大于2时)。为了绘制分形的图像,可以先选择指定数量的d个复数点(ζ1,...,ζd)并计算多项式的系数(p1,...,pd)。ℂ中的点,找到相应的根ζk(m,n)的索引k(m,n),并通过给每个点(m,n)分配颜色fk(m,n)来填充一个M×N的光栅网格。此外,或者说,颜色可能取决于距离D(m,n),它被定义为xxx个值D,使得|zD-ζk(m,n)|<ε对于一些先前固定的小ε>0。

牛顿分形的一般化

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牛顿迭代的一般化是其中a是任何复数。当a位于以1为中心的半径为1的圆盘内时,该地图的固定点是稳定的。当a位于该圆盘外时,固定点是局部不稳定的,但该地图仍表现出Julia集意义上的分形结构。如果p是d度的多项式,那么只要a在以d为中心的半径为d的圆盘内,序列zn就是有界的。更一般地说,牛顿分形是朱利亚集的一个特例。三等3级根p(z)=z3-1的牛顿分形,按所需迭代次数着色牛顿分形的三度3根p(z)=z3-1,按达到的根数着色p(z)=z3-2z+2的牛顿分形。红色盆地中的点没有达到根。

牛顿分形

七阶多项式的牛顿分形图,以达到的根数来标示,以收敛率来标示。p(z)=z8+15z4-16的牛顿分形图p(z)=z5-3iz3-(5+2i)z2+3z+1的牛顿分形,根据达到的根数着色,根据需要的迭代次数着色.p(z)=sinz的牛顿分形,根据达到的根数着色,根据需要的迭代次数着色。p(z)=sinz的另一个牛顿分形p(z)=z3-1,a=-1/2的广义牛顿分形。颜色是根据40次迭代后的参数选择的。p(z)=z2-1,a=1+i的广义牛顿分形。p(z)=z3-1,a=2的广义牛顿分形。p(z)=z4+3i-1,a=2.1的广义牛顿分形。新星分形20世纪90年代中期,保罗-德比郡发明了新星分形,它是牛顿分形的概括,每一步都增加了一个值c。


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