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适当的广义分解 编辑

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适当的广义分解

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适当的广义分解(PGD)是一种用于解决边界值问题(BVP)的迭代数值方法,即受一组边界条件约束的偏微分方程,如泊松方程或拉普拉斯方程。PGD算法通过连续富集来计算BVP的近似解。这意味着,在每次迭代中,都要计算一个新的分量(或模式),并添加到近似值中。原则上,获得的模式越多,近似值就越接近其理论解。与POD主成分不同,PGD模式不一定是相互正交的。通过只选择最相关的PGD模式,就可以得到解决方案的减序模型。正因为如此,PGD被认为是一种降维算法。

适当的广义分解的描述

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适当的广义分解是一种方法,其特征是问题的变分公式,以有限元方法的方式对域进行离散化,假设解可以被近似为一个单独的表示,并采用数字贪婪算法来寻找解。变分公式PGD中最常用的变分公式是Bubnov-Galerkin方法,尽管还有其他的实现方法。

域离散化

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域的离散化是一套定义明确的程序,包括(a)创建有限元网格,(b)定义参考元素的基函数(也称为形状函数)和(c)将参考元素映射到网格中的元素。分离表示PGD假定一个(多维)问题的解u可以被近似为一个分离表示的形式其中加数N和函数产品X1(x1),X2(x2),...,Xd(xd),每个都取决于一个(或多个)变量,事先是未知的。

贪婪算法

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通过应用贪婪算法(通常是固定点算法)来寻求问题的弱式表述的解决方案。对于算法的每个迭代i,计算出解决方案的模式。每个模式由一组函数产品X1(x1),...,Xd(xd)的数值组成,它们丰富了解决方案的近似值。由于该算法的贪婪性质,使用了"丰富"一词,而不是"改善",因为有些模式实际上可能会使该方法恶化。获得低于某一误差阈值的近似解所需的计算模式的数量取决于迭代算法的停止标准。

适当的广义分解

适当的广义分解的特点

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PGD适合于解决高维问题,因为它克服了经典方法的限制。特别是,PGD避免了维度的诅咒,因为解决解耦问题的计算成本比解决多维问题要低得多。因此,PGD通过将问题的参数设置为额外的坐标,可以将参数化问题重新调整为多维框架。其中,一系列函数产品K1(k1),K2(k2),...,Kp(kp),每个都取决于一个(或多个)参数,已被纳入方程。在这种情况下,得到的近似解被称为计算盲文:一个一般的元模型,包含了所有相关参数的每个可能值的特定解。

稀疏子空间学习

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稀疏子空间学习(SSL)方法利用分层配位来逼近参数模型的数值解。相对于传统的基于投影的减序建模,使用配位可以实现基于参数空间的稀疏自适应采样的非侵入式方法。这允许恢复参数解子空间的低维结构,同时也能以明确的形式从参数中学习功能依赖。参数解的稀疏低秩近似张量表示可以通过增量策略建立,该策略只需要访问确定性求解器的输出。非侵入性使这种方法直接适用于具有挑战性的问题,其特点是非


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词条目录
  1. 适当的广义分解
  2. 适当的广义分解的描述
  3. 域离散化
  4. 贪婪算法
  5. 适当的广义分解的特点
  6. 稀疏子空间学习

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