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贝尔曼伪谱法 编辑

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贝尔曼伪谱法

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贝尔曼伪谱法是一种基于贝尔曼最优性原理的最优控制的伪谱法。它是更大的伪谱系最优控制理论的一部分,这个术语是由罗斯创造的。该方法是以RichardE.Bellman命名的。它首先由Ross等人引入,作为解决多尺度最优控制问题的一种手段,后来又扩展到获得一般最优控制问题的次优解。

理论基础

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贝尔曼伪谱法的多尺度版本是基于Ross-Fahroo伪谱法的频谱收敛特性。也就是说,由于Ross-Fahroo伪谱方法以指数级的速度收敛,即使在解有高频成分的情况下,也能在很低的节点数上获得对解的点收敛。Ross等人首先发现了最优控制中的这种混叠现象,而不是使用信号处理技术来抗混叠,Ross等人提出可以对收敛的解应用Bellman的最优性原理来提取节点间的信息。由于Gauss-Lobatto节点聚集在边界点上,Ross等人提出,如果初始条件周围的节点密度满足Nyquist-Shannon采样定理,那么可以通过在被称为Bellman段的分片上以递归的方式解决最优控制问题来恢复完整的解决方案。在该方法的一个扩展版本中,Ross等人提出该方法也可以用来生成不一定是最优的可行方案。在这个版本中,人们可以在更低的节点数上应用贝尔曼伪谱法,即使在知道解决方案可能没有收敛到最优的情况下。在这种情况下,人们会得到一个可行的解决方案。贝尔曼伪谱法的一个显著特点是,它能根据原始伪谱成本和贝尔曼段之和产生的成本,自动确定几种次优性的措施。

贝尔曼伪谱法

计算效率

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贝尔曼伪谱法的一个计算优势是,它允许人们在节点点的分布中摆脱高斯规则。也就是说,在标准的伪谱法中,节点点的分布是高斯的(通常是有限水平线的高斯-洛巴托和无限水平线的高斯-拉道)。高斯点在区间的中间是稀疏的(对于无限水平线问题,中间是在移位的意义上定义的),在边界是密集的。边界附近的点的二阶堆积有浪费节点的效果。贝尔曼伪谱方法利用初始点的节点积累来反锯齿化解,并丢弃剩余的节点。因此,节点的最终分布是非高斯的和密集的,而计算方法保留了稀疏的结构

贝尔曼伪谱法的应用

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贝尔曼伪谱法是由Ross等人首次应用于解决极低推力轨迹优化的挑战性问题。它已被成功地应用于解决一个实际问题,即产生非常高精度的解决方案,将一个太空舱从月球轨道带到一个精确的地球表面条件,以便成功返回。贝尔曼伪谱方法最常被用作对罗斯-法罗伪谱方法产生的伪谱解决方案的优化的额外检查。也就是说,除了使用Pontryagin最小原则与Ross-Fahroo伪谱法得到的解相结合,Bellman伪谱法被用作对计算出的解的最优性的仅有的测试


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  1. 贝尔曼伪谱法
  2. 理论基础
  3. 计算效率
  4. 贝尔曼伪谱法的应用

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