数学结构

在数学中，结构是一个被赋予了一些额外特征的集合（例如：运算、关系、度量或拓扑）。通常情况下，这些额外的特征是附着在集合上或与之相关的，以便为它提供一些额外的意义或重要性。一个可能的结构的部分清单是度量、代数结构（群、场等）、拓扑、度量结构（几何）、秩序、事件、等价关系、微分结构和类别。有时，一个集合同时被赋予一个以上的特征，这使得数学家可以更丰富地研究不同结构之间的互动。例如，一个排序对集合施加了一个刚性的形式、形状或拓扑学，如果一个集合同时具有拓扑学特征和群组特征，使这两个特征以某种方式相关，那么这个结构就成为一个拓扑群。在许多数学领域中，保留结构的集合之间的映射（即域中的结构被映射到码域中的等价结构）具有特殊的意义。例如，保留代数结构的同态性；保留拓扑结构的同态性；以及保留微分结构的差态性。

1939年，笔名为尼古拉-布尔巴基的法国团体将结构视为数学的根源。他们在《集合理论》（FasciculeofTheoryofSets）中首次提到这些结构，并将其扩展到1957年版的第四章中。他们确定了三种母体结构：代数结构、拓扑结构和秩序结构。例子：实数实数集有几个标准结构。秩序：每个数字要么比其他数字少，要么比其他数字多。

代数结构：有乘法和加法运算，使其成为一个领域。度量：实线的间隔有特定的长度，这可以扩展到其许多子集上的勒贝斯格度量。公制：有一个点之间距离的概念。几何学：它配备有公制，是平的。拓扑学：有一个开放集的概念。这些之间有界面。它的秩序和独立的公制结构诱发了它的拓扑学。它的秩序和代数结构使它成为一个有序的场。它的代数结构和拓扑学使它成为一个李群，一种拓扑群。