有序对

在数学中，有序对（a，b）是一对对象。有序对（a，b）与有序对（b，a）是不同的，除非a=b。（相反，无序对{a，b}等于无序对{b，a}）。有序对也被称为2元组，或长度为2的序列（有时在计算机科学背景下称为列表）。(从技术上讲，这是术语的滥用，因为一个有序对不需要是一个矢量空间的元素。)一个有序对的条目可以是其他的有序对，使有序n-tuples(n个对象的有序列表)的递归定义成为可能。例如，有序三联体(a,b,c)可以定义为(a,(b,c))，也就是说，作为一个对嵌套在另一个对里。在有序对(a,b)中，对象a被称为xxx条目，对象b被称为该对的第二条目。或者，这些对象被称为xxx和第二组件，xxx和第二坐标，或者有序对的左和右投影。笛卡尔乘积和二元关系（以及函数）都是用有序对来定义的，参见图片。一般性问题让所有xxx项在某个集合A中，第二项在某个集合B中的有序对的集合，被称为A和B的笛卡尔积，写成A×B。(a,b)符号可用于其他目的，最明显的是表示实数线上的开放区间。在这种情况下，上下文通常会清楚地表明哪种含义是有意的。为了进一步澄清，可以用不同的符号来表示有序的一对但这个符号也有其他用途。一对p的左右投影通常分别用π1(p)和π2(p)表示，或者用πℓ(p)和πr(p)表示。在考虑任意n元组的情况下，πni(t)是n元组t的第i个成分的常用符号。非正式和正式的定义在一些数学入门教科书中，给出了有序对的非正式（或直观）定义，如对于任何两个对象a和b，有序对（a，b）是一个符号，指定两个对象a和b，按该顺序。这后面通常会有一个与两个元素的集合的比较；指出在一个集合中a和b必须是不同的，但在一个有序对中它们可能是相等的，虽然列出一个集合的元素的顺序并不重要，但在一个有序对中改变不同条目的顺序会改变有序对。这个定义并不令人满意，因为它只是描述性的，是基于对秩序的直观理解。然而，正如有时所指出的那样，依靠这种描述不会有什么坏处，而且几乎每个人都是以这种方式思考有序对的。

一个更令人满意的方法是，观察上面给出的有序对的特征属性是理解有序对在数学中的作用所需要的全部内容。因此，有序对可以被看作是一个原始概念，其相关的公理是特征属性。这是N.Bourbaki小组在1954年出版的《集合理论》中采取的方法。然而，这种方法也有它的缺点，因为有序对的存在和它们的特征属性都必须是公理化的假设。严格处理有序对的另一种方法是在集合论的背景下正式定义它们。这可以通过多种方式进行，其优点是可以通过定义集合理论的公理来证明存在性和特征属性。这个定义被引用最多的版本之一是库拉托夫斯基（见下文），他的定义被用于1970年出版的布尔巴基《集合理论》第二版中。即使是那些给出有序对非正式定义的数学教科书，也经常会在练习中提到库拉托夫斯基的正式定义。

如果人们同意集合论是数学的一个吸引人的基础，那么所有的数学对象都必须被定义为某种集合。因此，如果有序对不被视为原始的，它就必须被定义为一个集合。下面给出了有序对的几个集合论定义（另见）。

诺伯特-维纳在1914年提出了有序对的xxx个集合论定义。