保测动力系统

在数学中，保测动力系统是动力系统抽象公式的研究对象，尤其是遍历理论。 保测系统遵循庞加莱递推定理，是保守系统的特例。 它们为范围广泛的物理系统提供了正式的数学基础，特别是经典力学中的许多系统（特别是大多数非耗散系统）以及热力学平衡系统。

保测动力系统被定义为概率空间和其上的保测变换。

有人可能会问为什么保测变换是根据逆 μ ( T − 1 ( A ) ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (T{-1}(A))=\mu (A)} 而不是正向变换 μ ( T ( A ) ) = μ ( A ) {\displaystyle \mu (T(A))=\mu (A)} 。 这可以用一种相当简单的方式来理解。

现在考虑映射 T {\displaystyle {\mathcal {T}}} 的特例，它保留交集、并集和补集（因此它是 Borel 集的映射）并且还将 X {\displaystyle X} 发送到 X {\displaystyle X}（因为我们希望它是保守的）。

注意 μ ( T − 1 ( A ) ) {\displaystyle \mu (T{-1}(A))} 具有前推的形式，而 μ ( T ( A ) ) {\displaystyle \ mu (T(A))} 通常称为回调。 动力系统的几乎所有属性和行为都是根据前推定义的。 例如，转移算子是根据变换映射 T {\displaystyle T} 的前推定义的； 量度 μ {\displaystyle \mu } 现在可以理解为不变量度； 它只是转移算子的 Frobenius–Perron 特征向量（回想一下，FP 特征向量是矩阵的xxx特征向量；在这种情况下，它是具有特征值 1 的特征向量：不变测度。）

有两个有趣的分类问题。 一个，下面讨论，修复 ( X , B , μ ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu )} 并询问变换映射 T {\displaystyle T 的同构类 } 。 另一个，在转移运算符中讨论，固定 ( X , B ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}})} 和 T {\displaystyle T} ，并询问映射 μ {\displaystyle mu } 是类似度量的。 Measure-like，因为它们保留了 Borel 属性，但不再是不变的； 它们通常是耗散的，因此可以深入了解耗散系统和达到平衡的途径。

在物理学方面，保测动力系统 ( X , B , μ , T ) {\displaystyle (X,{\mathcal {B}},\mu ,T)} 通常描述一个物理系统是 在平衡中，例如，热力学平衡。 有人可能会问：它是怎么变成这样的？ 通常，答案是通过搅拌、混合、湍流、热化或其他此类过程。