集合论

集合论是研究集合的数学逻辑的一个分支，集合可以非正式地描述为对象的集合。 虽然任何种类的对象都可以被收集到一个集合中，但集合论作为数学的一个分支，主要关注那些与整个数学相关的对象。

集合论的现代研究是由德国数学家理查德·戴德金和乔治·康托于 1870 年代发起的。 特别是，Georg Cantor 通常被认为是集合论的创始人。 在这个早期阶段研究的非形式化系统被称为朴素集理论。 在发现朴素集合论中的悖论（如罗素悖论、康托尔悖论和 Burali-Forti 悖论）后，20 世纪初提出了各种公理系统，其中 Zermelo-Fraenkel 集合论（与 或没有选择公理）仍然是最著名和研究最多的。

集合论通常被用作整个数学的基础系统，特别是以带有选择公理的 Zermelo-Fraenkel 集合论的形式出现。 除了其基础作用外，集合论还提供了发展无限数学理论的框架，并在计算机科学（例如关系代数理论）、哲学和形式语义学中有各种应用。 它的基本吸引力，连同它的悖论，它对无穷大概念的影响及其多重应用，使集合论成为逻辑学家和数学哲学家的主要兴趣领域。 当代对集合论的研究涵盖了广泛的主题，从实数轴的结构到大基数一致性的研究。

数学主题通常通过许多研究人员之间的互动而出现和发展。 然而，集合论是由 Georg Cantor 于 1874 年发表的一篇论文创立的：论所有实数代数数集合的性质。

自公元前 5 世纪以来，从西方的希腊数学家埃利亚的芝诺和东方的早期印度数学家开始，数学家们一直在与无穷大的概念作斗争。 尤其值得注意的是伯纳德·博尔扎诺 (Bernard Bolzano) 在 19 世纪上半叶的作品。 现代对无穷大的理解始于 1870 年至 1874 年，受到康托尔在实分析方面的工作的启发。 1872 年康托尔和理查德戴德金德之间的一次会面影响了康托尔的思想，并在康托尔 1874 年的论文中达到了顶峰。

康托尔的工作最初使他那个时代的数学家两极分化。 虽然 Karl Weierstrass 和 Dedekind 支持 Cantor，但现在被视为数学建构主义创始人的 Leopold Kronecker 却不支持。 由于康托尔概念的实用性，例如集合之间的一对一对应，他证明实数比整数多，以及无限中的无穷大（康托尔的天堂），康托尔集合论最终得到广泛传播 从电源组操作。 集合论的这种实用性导致了文章 Mengenlehre，该文章于 1898 年由 Arthur Schoenflies 贡献给克莱因的百科全书。

集合论的下一波热潮出现在 1900 年左右，当时人们发现康托尔集合论的某些解释引起了几个矛盾，称为二律背反或悖论。 Bertrand Russell 和 Ernst Zermelo 独立发现了最简单和最著名的悖论，现在称为罗素悖论：考虑所有不是自身成员的集合，这导致矛盾，因为它必须是自身的成员而不是自身的成员 自己的一员。 1899年，康托尔自己提出了“所有集合的集合的基数是多少？”的问题，并得到了相关的悖论。 罗素在他 1903 年的《数学原理》中对大陆数学的评论中使用了他的悖论作为主题。 罗素没有使用术语集，而是使用了术语类，该术语后来在技术上得到了更多的使用。

集合论的势头如此之大，以至于关于悖论的辩论并没有导致它被放弃。 Zermelo 在 1908 年的工作以及 Abraham Fraenkel 和 Thoralf Skolem 在 1922 年的工作导致了公理集 ZFC，它成为集合论中最常用的公理集。 分析家的工作，例如亨利·勒贝格的工作，证明了集合论的巨大数学效用，此后它已融入现代数学的结构中。 集合论通常用作基础系统，尽管在某些领域（例如代数几何和代数拓扑）范畴理论被认为是首选基础。

集合论以对象 o 和集合 A 之间的基本二元关系开始。