客观应力率

在连续介质力学中，客观应力率是应力的时间导数，不依赖于参考系。 许多本构方程是以应力率和应变率（或变形张量率）之间关系的形式设计的。 材料的机械响应不应取决于参考系。 换句话说，材料本构方程应该是框架无关的（客观的）。 如果应力和应变测量是物质量，则自动满足客观性。 但是，如果量是空间的，那么即使应变率是客观的，也不能保证应力率的客观性。

连续介质力学中有许多客观应力率——所有这些都可以显示为特殊形式的李导数。

相邻的图显示了简单剪切试验中各种目标速率的性能，其中材料模型是具有恒定弹性模量的次弹性。 将剪切应力与位移的比率绘制为时间的函数。 三个目标应力率使用相同的模量。 显然，观察到 Zaremba-Jaumann 应力率存在虚假振荡。这不是因为一种比率优于另一种比率，而是因为材料模型误用了具有不同目标比率的相同常数。 出于这个原因，最近的趋势是尽可能完全避免客观压力率。

为了从物理上理解上述内容，请考虑图 1 所示的情况。在图中，柯西（或真实）应力张量的分量用符号 S i j {displaystyle S_{ij}} 表示。 这个张量描述了假设从当前变形的材料中切出的小材料元素上的力，在大变形时并不客观，因为它随着材料的刚体旋转而变化。 材料点必须由它们的初始拉格朗日坐标 X i {displaystyle X_{i}} 来表征。 这意味着 S ∘ i j {displaystyle {overset {circ }{S}}_{ij}} 必须在坐标变换方面是不变的，特别是刚体旋转，并且必须表征 变形时相同的材料元素。

客观压力率可以通过两种方式得出：

• 通过张量坐标变换，这是有限元教科书中的标准方法
• 变分地，根据以应变张量表示的材料中的应变能密度（根据定义是客观的）

虽然前一种方法具有指导意义并提供有用的几何洞察力，但后一种方法在数学上更短并且具有自动确保能量守恒的额外优势，即保证应力增量张量对应变增量张量的二阶功是正确的 （工作结合要求）。