客观应力率
编辑在连续介质力学中,客观应力率是应力的时间导数,不依赖于参考系。 许多本构方程是以应力率和应变率(或变形张量率)之间关系的形式设计的。 材料的机械响应不应取决于参考系。 换句话说,材料本构方程应该是框架无关的(客观的)。 如果应力和应变测量是物质量,则自动满足客观性。 但是,如果量是空间的,那么即使应变率是客观的,也不能保证应力率的客观性。
连续介质力学中有许多客观应力率——所有这些都可以显示为特殊形式的李导数。
相邻的图显示了简单剪切试验中各种目标速率的性能,其中材料模型是具有恒定弹性模量的次弹性。 将剪切应力与位移的比率绘制为时间的函数。 三个目标应力率使用相同的模量。 显然,观察到 Zaremba-Jaumann 应力率存在虚假振荡。这不是因为一种比率优于另一种比率,而是因为材料模型误用了具有不同目标比率的相同常数。 出于这个原因,最近的趋势是尽可能完全避免客观压力率。
柯西应力时间导数的非客观性
编辑为了从物理上理解上述内容,请考虑图 1 所示的情况。在图中,柯西(或真实)应力张量的分量用符号 S i j {displaystyle S_{ij}} 表示。 这个张量描述了假设从当前变形的材料中切出的小材料元素上的力,在大变形时并不客观,因为它随着材料的刚体旋转而变化。 材料点必须由它们的初始拉格朗日坐标 X i {displaystyle X_{i}} 来表征。 这意味着 S ∘ i j {displaystyle {overset {circ }{S}}_{ij}} 必须在坐标变换方面是不变的,特别是刚体旋转,并且必须表征 变形时相同的材料元素。
客观压力率可以通过两种方式得出:
- 通过张量坐标变换,这是有限元教科书中的标准方法
- 变分地,根据以应变张量表示的材料中的应变能密度(根据定义是客观的)
虽然前一种方法具有指导意义并提供有用的几何洞察力,但后一种方法在数学上更短并且具有自动确保能量守恒的额外优势,即保证应力增量张量对应变增量张量的二阶功是正确的 (工作结合要求)。
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