因果系统

在控制理论中，因果系统（也称为物理或非预期系统）是一个输出取决于过去和当前输入而不是未来输入的系统——即输出 y ( t 0 ) {\displaystyle y(t_{ 0})} 仅取决于输入 x ( t ) {\displaystyle x(t)} 对于 t ≤ t 0 {\displaystyle t\leq t_{0}} 的值。

一个函数的输出在任何时候都只取决于输入的过去和现在的值的想法是由通常称为因果关系的属性定义的。 对未来输入值具有一定依赖性的系统（除了可能依赖于过去或当前输入值之外）被称为非因果或非因果系统，而仅依赖于未来输入值的系统称为反因果系统。 请注意，一些作者将反因果系统定义为仅依赖于未来和当前输入值的系统，或者更简单地说，是一个不依赖于过去输入值的系统。

传统上，自然或物理现实被认为是一个因果系统。 涉及狭义相对论或广义相对论的物理学需要更仔细地定义因果关系，如因果关系（物理学）中详细描述的那样。

系统的因果关系在数字信号处理中也起着重要作用，其中滤波器的构造使其具有因果关系，有时通过改变非因果关系的公式来消除因果关系的缺失，使其可实现。 有关详细信息，请参阅因果过滤器。

对于因果系统，系统的脉冲响应必须仅使用输入的当前值和过去值来确定输出。 此要求是系统具有因果关系的充分必要条件，与线性无关。 请注意，类似的规则适用于离散或连续的情况。 根据这种不需要未来输入值的定义，系统必须是实时处理信号的因果关系。

定义 1：系统将 x {\displaystyle x} 映射到 y {\displaystyle y} 是因果关系当且仅当对于任何一对输入信号 x 1 ( t ) {\displaystyle x_{1}(t) } , x 2 ( t ) {\displaystyle x_{2}(t)} 和 t 0 {\displaystyle t_{0}} 的任意选择

定义 2：假设 h ( t ) {\displaystyle h(t)} 是由线性常系数微分方程描述的任何系统 H {\displaystyle H} 的脉冲响应。 系统 H {\displaystyle H} 是因果关系当且仅当

h ( t ) = 0 , ∀ t <; 0 {\displaystyle h(t)=0,\quad \forall \ t<0}

否则它是非因果的。

以下示例适用于具有输入 x {\displaystyle x} 和输出 y {\displaystyle y} 的系统。