线性系统

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  1. 简介
  1. 定义
  1. 例子

    简介

    系统论中,线性系统是基于使用线性算子的系统的数学模型。线性系统通常表现出比非线性情况简单得多的特征和属性。

    作为数学抽象或理想化,线性系统发现 在自动控制理论、信号处理和电信方面的重要应用。 例如,无线通信系统的传播介质通常可以用线性系统建模

    定义

    一般的确定性系统可以由算子 H 描述,它将输入 x(t) 作为 t 的函数映射到输出 y(t),这是一种黑盒描述。

    一个系统是线性的,当且仅当它满足叠加原理,或者等效地同时满足可加性和齐性特性,没有限制(即,对于所有输入,所有缩放常数和所有时间。)

    叠加原理意味着系统输入的线性组合产生对应于各个输入的各个零状态输出(即,将初始条件设置为零的输出)的线性组合。

    在满足同质性的系统中,缩放输入总是导致按相同因子缩放零状态响应。 在满足可加性属性的系统中,添加两个输入总是导致添加相应的两个零状态响应,这是由于单独的输入。

    对于任何标量值 α 和 β,对于任何输入信号 x1(t) 和 x2(t),以及所有时间 t。

    然后系统由方程 H(x(t)) = y(t) 定义,其中 y(t) 是时间的某个任意函数,x(t) 是系统状态。 给定 y(t) 和 H,系统可以求解 x(t)。

    复杂输入影响的结果系统的行为可以描述为对更简单输入的响应的总和。 在非线性系统中,不存在这种关系。

    这种数学特性使得建模方程的求解比许多非线性系统更简单。对于时不变系统,这是脉冲响应频率响应方法的基础,它们描述了一般输入函数 x(t) 在单位脉冲或频率分量方面。

    线性时不变系统的典型微分方程非常适合在连续情况下使用拉普拉斯变换,在离散情况下使用 Z 变换(尤其是在计算机实现中)进行分析。

    另一种观点是,线性系统的解包含一个函数系统,其作用类似于几何意义上的向量

    线性模型的一个常见用途是通过线性化来描述非线性系统。 这通常是为了数学上的方便。

    前面对线性系统的定义适用于 SISO(单输入单输出)系统。

    线性系统的这个定义类似于微积分中线性微分方程的定义,以及线性代数中的线性变换。

    例子

    谐振子服从微分方程:

    m d 2 ( x ) d t 2 = − k x {displaystyle m{frac {d{2}(x)}{dt{2}}}=-kx} 。

    如果

    线性系统

    H ( x ( t ) ) = m d 2 ( x ( t ) ) d t 2 + k x ( t ) {displaystyle H(x(t))=m{frac {d{2}(x(t) )}{dt{2}}}+kx(t)} ,

    那么H是一个线性算子。 令y(t) = 0,我们可以将微分方程重写为H(x(t)) = y(t),这表明简谐振子是线性系统。

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