点群

在几何学中，点群是具有共同固定点的对称运算（欧几里得空间中的等距）的数学群。 欧几里德空间的坐标原点通常取为一个不动点，那么维度d中的每个点群都是正交群O(d)的一个子群。 点群用于描述几何图形和分子等物理对象的对称性。

每个点群都可以表示为一组正交矩阵 M，它们根据 y = Mx 将点 x 变换为点 y。 点群的每个元素要么是旋转（M = 1 的行列式），要么是反射或不正确的旋转（M = −1 的行列式）。

晶体的几何对称性由空间群描述，空间群允许平移并包含点群作为子群。 多于一维的离散点群来自无限族，但根据晶体学限制定理和比伯巴赫定理之一，每个维数只有有限数量的点群，这些点群在某个晶格或网格上对称 维数。 这些是晶体学点群。

点群可分为手性（或纯旋转）群和非手性群。手性群是特殊正交群 SO(d) 的子群：它们仅包含保向正交变换，即行列式 +1 的变换。 非手性群还包含行列式 −1 的变换。 在非手性群中，保向变换形成指数为 2 的（手性）子群。

有限 Coxeter 群或反射群是那些纯粹由一组穿过同一点的反射镜生成的点群。

一维点群只有两个，身份群和反射群。

二维点群，有时称为玫瑰花状群。

他们来自两个无限的家庭：

• n次旋转群的循环群Cn
• n次旋转和反射群的二面体群Dn

应用晶体限制定理将两个系列的 n 限制为值 1、2、3、4 和 6，从而产生 10 个组。

由 1 个或 2 个镜子定义的纯反射点组的子集，也可以由它们的 Coxeter 组和相关多边形给出。 这些包括 5 个结晶组。 反射群的对称性可以通过同构加倍，通过平分镜将两个反射镜映射到彼此，使对称阶数加倍。

三维点群在研究分子对称性时被广泛使用，有时也称为分子点群。

它们有 7 个无限系列的轴群（也称为棱柱群）和 7 个额外的多面体群（也称为柏拉图群）。

将晶体学限制定理应用于这些群会产生 32 个晶体学点群。

当 Intl 条目重复时，xxx个用于偶数 n，第二个用于奇数 n。

由 1 到 3 个镜面定义的反射点群，也可以由它们的 Coxeter 群和相关的多面体给出。 [3,3] 群可以加倍，写作 [[3,3]]，将xxx个和最后一个镜像相互映射，将对称性加倍为 48，并与 [4,3] 群同构。

四维点群（手性和非手性）列于 Conway 和 Smith，第 4 节，

以下列表给出了四维反射群（不包括那些保留子空间固定且因此是低维反射群的反射群）。 每个群被指定为一个 Coxeter 群，并且像 3D 的多面体群一样，它可以由其相关的凸正则 4-多面体命名。 相关的纯旋转群以半阶存在，可以用带'+'指数的括号 Coxeter 符号表示，例如 [3,3,3]+ 有三个 3 倍旋转点和对称阶 60. 前后对称群如 [3,3,3] 和 [3,4,3] 可以加倍。