弯曲时空中的狄拉克方程

在数学物理中，弯曲时空中的狄拉克方程是狄拉克方程从平坦时空（闵可夫斯基空间）到弯曲时空的推广，一般洛伦兹流形。

完全一般来说，方程可以定义在 M {displaystyle M} 或 ( M , g ) {displaystyle (M,mathbf {g} )} 一个伪黎曼流形上，但为了具体起见，我们限制为伪 - 具有签名 ( − + + + ) {displaystyle (-+++)} 的黎曼流形。 该指标在抽象索引符号中称为 g {displaystyle mathbf {g} } 或 g a b {displaystyle g_{ab}} 。

vierbein 定义了一个局部静止坐标系，允许常数 Gamma 矩阵作用于每个时空点。

在微分几何语言中，vierbein 相当于标架丛的一部分，因此定义了标架丛的局部平凡化。

要写下方程，我们还需要自旋连接，也称为连接 (1-) 形式。 其中 ∇ a {displaystyle nabla _{a}} 是协变导数，或者等价地选择标架丛上的连接，通常被认为是 Levi-Civita 连接。

应注意不要将抽象的拉丁索引和希腊索引视为相同，并进一步注意这两者都不是坐标索引：可以验证 ω μ ν a {displaystyle omega {mu }{}_{nu a}} 在坐标变化下不会转换为张量。

在数学上，它们是从切线空间 T p M 定义的 {displaystyle T_{p}M} 到 R 1 , 3 {displaystyle mathbb {R} {1,3}} 。 然后抽象索引标记切线空间，而希腊索引标记 R 1 , 3 {displaystyle mathbb {R} {1,3}} 。 如果框架场是位置相关的，那么希腊索引不一定会在坐标变化的情况下进行张量变换。

升高和降低指数是用 g a b {displaystyle g_{ab}} 来完成的，对于拉丁指数和 η μ ν {displaystyle eta _{mu nu }} 对于希腊指数。

连接形式可以看作是主丛上的更抽象的连接，特别是框架丛上的连接，它定义在任何光滑流形上，但仅限于伪黎曼流形上的正交框架丛。

关于局部定义的框架域 { e μ } {displaystyle {e_{mu }}} 的连接形式，在微分几何语言中，是关于局部平凡化的连接。

正如平坦时空的狄拉克方程一样，我们利用克利福德代数

它们可用于构造洛伦兹代数的表示

其中 [ ⋅ , ⋅ ] {displaystyle [cdot ,cdot ]} 是换向器。

可以证明它们满足洛伦兹代数的对换关系