保守向量场

在向量微积分中，保守向量场是作为某个函数的梯度的向量场。 保守矢量场具有线积分与路径无关的性质； 选择两点之间的任何路径都不会改变线积分的值。 线积分的路径独立性相当于线积分下的向量场是保守的。 保守向量场也是无旋的； 在三个维度上，这意味着它具有消失的卷曲。 如果域是单连通的，则无旋矢量场必然是保守的。

保护方向量场自然地出现在力学中：它们是矢量场，代表能量守恒的物理系统的力。 对于保守系统，在配置空间中沿路径移动所做的功仅取决于路径的端点，因此可以定义独立于所采用的实际路径的势能。

在二维和三维空间中，两点之间的积分存在歧义，因为两点之间有无限多条路径——除了两点之间形成的直线外，还可以选择曲线路径 如图所示的更长的长度。 因此，一般来说，积分的值取决于所走的路径。 然而，在保守矢量场的特殊情况下，积分的值与所走的路径无关，这可以被认为是对所有元素 d R的大规模取消 两点之间的直线上没有分量。 为了想象这一点，想象两个人在攀登悬崖； 一个人决定垂直攀登悬崖，另一个人决定沿着一条比悬崖高度还长的蜿蜒小路行走，但与水平面的角度很小。 虽然这两个登山者爬上悬崖顶的路线不同，但在悬崖顶上，他们都获得了相同的重力势能。

M. C. Escher 的石版画“升序”和“降序”说明了一个非保守矢量场，当一个人沿着楼梯移动时，它不可能看起来像是地面以上不同高度的梯度。 它是旋转的，因为一个人可以在绕圈子时不断升高或不断降低。 它是非保守的，因为一个人可以在上升的同时返回一个起点，而不是一个下降，反之亦然。 在真实的楼梯上，离地面的高度是一个标量势场：如果一个人回到同一个地方，一个人向上的高度与一个人向下的高度完全一样。 它的梯度将是一个保守的矢量场并且是无旋的。

矢量微积分的基本定理指出，任何矢量场都可以表示为保守矢量场和螺线管场之和。

对于 U 中给定路径端点对之间的任何一对积分路径 P 1 和 P 2 。

路径独立性也等价地表示为

∫ P c v ⋅ d r = 0 对于任何分段平滑闭合路径 P c 在 U 中，两个端点重合。 两个表达式是等价的，因为任何闭合路径 P c都可以由两条路径构成。