辛流形

在微分几何这一数学学科中，辛流形是一个光滑流形 M {\displaystyle M} ，配备了一个封闭的非退化微分 2-形式 ω {\displaystyle \omega } ，称为辛形式。 辛流形的研究称为辛几何或辛拓扑。 辛流形作为流形的余切丛自然地出现在经典力学和分析力学的抽象公式中。 例如，在为该领域提供主要动机之一的经典力学哈密顿公式中，系统所有可能配置的集合被建模为流形，并且该流形的余切束描述了相空间 系统。

辛流形源于经典力学； 特别是，它们是封闭系统相空间的推广。 以同样的方式，哈密顿方程允许人们从一组微分方程中推导出系统的时间演化，辛形式应该允许人们从哈密顿函数 H 的微分 dH 中获得描述系统流动的矢量场 . 所以我们需要一个从切流形 TM 到余切流形 T∗M 的线性映射 TM → T∗M，或者等价地，一个 T∗M ⊗ T∗M 的元素。 令 ω 表示 T∗M ⊗ T∗M 的一部分，ω 是非退化的要求确保对于每个微分 dH 都有一个xxx的对应矢量场 VH 使得 dH = ω(VH, · )。 由于人们希望哈密顿量沿流线恒定，因此应该有 dH(VH) = ω(VH, VH) = 0，这意味着 ω 是交替的，因此是 2-形式。 最后，提出了 ω 不应在流线下变化的要求，即 ω 沿 VH 的李导数消失。 应用嘉当公式，这相当于（这里 ι X {\displaystyle \iota _{X}} 是内积）：

L V H ( ω ) = 0 ⇔ d ( ι V H ω ) + ι V H d ω = d ( d H ) + d ω ( V H ) = d ω ( V H ) = 0 {\displaystyle {\mathcal {L}} _{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{ V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})= \mathrm {d} \omega (V_{H})=0}

因此，在对不同的平滑函数 H {\displaystyle H} 重复这个论点时，相应的 V H {\displaystyle V_{H}} 跨越应用论点的每个点的切线空间，我们看到要求 对于沿着 V H {\displaystyle V_{H}} 的流消失的李导数对应于任意光滑的 H {\displaystyle H} 等价于 ω 应该关闭的要求。

光滑流形 M {\displaystyle M} 上的辛形式是封闭非退化微分 2-形式 ω {\displaystyle \omega } 。 这里，非退化意味着对于每个点 p ∈ M {\displaystyle p\in M} ，切线空间 T p M {\displaystyle T_{p}M} 上的斜对称配对由 ω { \displaystyle \omega } 是非退化的。 也就是说，如果存在一个 X ∈ T p M {\displaystyle X\in T_{p}M} 使得 ω ( X , Y ) = 0 {\displaystyle \omega (X,Y) =0} 对于所有 Y ∈ T p M {\displaystyle Y\in T_{p}M} ，则 X = 0 {\displaystyle X=0} 。 由于在奇数维度上，斜对称矩阵总是奇异的，ω {\displaystyle \omega } 是非退化的要求意味着 M {\displaystyle M} 具有偶数维度。 封闭条件意味着 ω {\displaystyle \omega } 的外导数消失了。 辛流形是一对 ( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )}，其中 M {\displaystyle M} 是光滑流形，ω {\displaystyle \omega } 是辛形式。 为 M {\displaystyle M} 分配一个辛形式被称为给 M {\displaystyle M} 一个辛结构。

让 { v 1 , … , v 2 n } {\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}} 成为 R 2 n 的基础。 {\displaystyle \mathbb {R} {2n}.} 我们在此基础上定义辛形式 ω 如下：

ω ( v i , v j ) = { 1 j − i = n with 1 ⩽ i ⩽ n − 1 i − j = n with 1 ⩽ j ⩽ n 0 否则 {\displaystyle \omega (v_{i},v_{ j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with } }1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{否则}}\end{cases}}}

在这种情况下，辛形式简化为简单的二次形式。 如果 In 表示 n × n 单位矩阵，则此二次形式的矩阵 Ω 由 2n × 2n 分块矩阵给出：

Ω = ( 0 I n − I n 0 ) 。 {\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}。}

设 Q {\displaystyle Q} 是维度为 n {\displaystyle n} 的光滑流形。 那么余切丛 T ∗ Q {\displaystyle T{*}Q} 的总空间有一个自然的辛形式。