辛同胚

在数学中，辛同构或辛映射是辛流形范畴中的同构。 在经典力学中，辛同胚表示相空间的体积保持不变的变换，并保持相空间的辛结构，称为正则变换。

两个辛流形 f : ( M , ω ) → ( N , ω ′ ) {\displaystyle f:(M,\omega )\rightarrow (N,\omega ')} 之间的微分同胚称为辛同胚 如果

f ∗ ω ′ = ω , {\displaystyle f{*}\omega '=\omega ,}

其中 f ∗ {\displaystyle f{*}} 是 f {\displaystyle f} 的回调。 从 M {\displaystyle M} 到 M {\displaystyle M} 的辛微分同胚是一个（伪）群，称为辛同胚群（见下文）。

辛同胚的无穷小版本给出了辛向量场。 向量场 X ∈ Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle X\in \Gamma {\infty }(TM)} 被称为辛如果

L X ω = 0。{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =0.}

此外，X {\displaystyle X} 是辛当且仅当 X {\displaystyle X} 的流 ϕ t : M → M {\displaystyle \phi _{t}:M\rightarrow M} 是辛同构 每个 t {\displaystyle t} 。这些矢量场构建了 Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle \Gamma {\infty }(TM)} 的李子代数。这里， Γ ∞ ( T M ) {\displaystyle \Gamma {\infty }(TM)} 是 M {\displaystyle M} 上的一组平滑矢量场，而 L X {\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}} 是谎言 沿向量场 X 的导数。 {\displaystyle X.}

辛同胚的示例包括经典力学和理论物理学的正则变换、与任何哈密顿函数相关的流、由流形的任何微分同胚导出的余切束上的映射，以及李群的元素在共伴轨道上的伴伴作用。

根据定义，辛流形上的任何光滑函数都会产生哈密顿矢量场，并且所有此类矢量场的集合形成辛矢量场的李代数的子代数。 辛向量场流的积分是辛同胚。 由于辛同胚保留了辛 2 形式，因此保留了辛体积形式，因此遵循哈密顿力学中的刘维尔定理。 由哈密顿矢量场产生的辛同胚被称为哈密顿辛同胚。

由于 {H, H} = XH(H) = 0，哈密顿矢量场的流动也保持 H。在物理学中，这被解释为能量守恒定律。

如果连通的辛流形的xxx个 Betti 数为零，则辛向量场和哈密顿向量场重合，因此哈密顿同位素和辛同胚的辛同位素概念重合。

可以证明，测地线的方程可以表述为哈密顿流，请参阅测地线作为哈密顿流。

从流形回到自身的辛同胚形成无限维伪群。 相应的李代数由辛向量场组成。哈密顿辛同胚构成一个子群，其李代数由哈密顿向量场给出。 后者同构于关于泊松括号的流形上光滑函数的李代数，以常数为模。

( M , ω ) {\displaystyle (M,\omega )} 的哈密顿辛同胚群通常表示为 Ham ⁡ ( M , ω ) {\displaystyle \operatorname {Ham} (M,\omega ) } 。

根据 Banyaga 定理，哈密顿微分同胚群是简单的。 它们具有 Hofer 范数给出的自然几何形状。 某些简单的辛四流形的辛同构群的同伦类型，例如球体的乘积，可以使用格罗莫夫的伪全纯曲线理论计算。

与黎曼流形不同，辛流形不是很严格：达布定理表明所有相同维度的辛流形都是局部同构的。 相反，黎曼几何中的等距必须保留黎曼曲率张量，因此它是黎曼流形的局部不变量。 此外，辛流形上的每个函数 H 都定义了哈密顿向量场 XH，它对哈密顿微分同胚的单参数群求幂。 由此可见，辛同胚群总是非常大，尤其是无限维的。 另一方面，黎曼流形的等距群始终是（有限维）李群。 此外，具有大对称群的黎曼流形非常特殊，一般的黎曼流形没有非平凡的对称性。

辛同胚群的有限维子群（一般在 ħ-变形之后）在希尔伯特空间上的表示称为量化。