哈密顿原理

在物理学中，哈密顿原理是 William Rowan Hamilton 对静止作用原理的表述。 它指出物理系统的动力学是由基于单一函数拉格朗日函数的变分问题决定的，该函数可能包含有关系统和作用在其上的力的所有物理信息。 变分问题等效于并允许推导物理系统的运动微分方程。 哈密顿原理虽然最初是为经典力学制定的，但也适用于电磁场和引力场等经典场，并在量子力学、量子场论和临界理论中发挥重要作用。

哈密顿原理指出，由 N 个广义坐标 q = (q1, q2, ..., qN) 描述的系统在两个指定状态 q1 = q(t1) 和 q2 = q(t2) 之间的真实演化 q(t) 在两个指定时间 t1 和 t2 是动作泛函 S [ q ] = d e f ∫ t 1 t 2 L ( q ( t ) , q ˙ ( t ) , t ) 的驻点（变化为零的点） d t {\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {q} ]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1} }{t_{2}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt} 其中 L ( q , q ˙ , t ) {\displaystyle L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)} 是系统的拉格朗日函数。 换句话说，真实进化的任何一阶扰动都会导致（最多）S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 的二阶变化。 动作 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 是一个函数，即，将一个函数作为输入并返回一个数字，一个标量。 在泛函分析方面，哈密顿原理指出物理系统的真正演化是泛函方程的解

哈密顿原理

δ S δ q ( t ) = 0。{\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0.}

也就是说，系统在配置空间中采用一条路径，该路径的动作是固定的，在路径的开始和结束处具有固定的边界条件。

又见更严格的推导欧拉-拉格朗日方程

要求真实轨迹 q(t) 是动作泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}} 的静止点等价于一组 q(t) 的微分方程（欧拉-拉格朗日方程 ), 可以推导如下。

令 q(t) 表示系统在两个指定时间 t1 和 t2 的两个指定状态 q1 = q(t1) 和 q2 = q(t2) 之间的真实演化，并令 ε(t) 为零的小扰动 在轨迹的端点 ε ( t 1 ) = ε ( t 2 ) = d e f 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon } }(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0}

对于扰动 ε(t) 中的一阶，作用泛函 δ S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}} 的变化为 δ S = ∫ t 1 t 2 [ L ( q + ε , q ˙ + ε ˙ ) − L ( q , q ˙ ) ] d t = ∫ t 1 t 2 ( ε ⋅ ∂ L ∂ q + ε ˙ ⋅ ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta { \mathcal {S}}=\int _{t_{1}}{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }} ,{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf { q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\ frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{ partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt} 其中我们已将拉格朗日 L 扩展到扰动 ε(t) 中的一阶。

将分部积分应用于最后一项，结果为 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\ 点 {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}{t_{2}}+\int _{t_{1}}{t_{2}}\; left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }} cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt }

边界条件 ε ( t 1 ) = ε ( t 2 ) = d e f 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_ {2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0} 导致xxx项消失 δ S = ∫ t 1 t 2 ε ⋅ ( ∂ L ∂ q − d d t ∂ L ∂ q ˙ ) d t {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon } }\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt}

哈密顿原理要求此一阶变化 δ S {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}} 对于所有可能的扰动 ε(t) 为零，即真实路径是 动作泛函 S {\displaystyle {\mathcal {S}}}。