克喇末-克勒尼希关系

克兹末-克勒尼希关系是双向数学关系，连接在上半平面解析的任何复函数的实部和虚部。 这些关系通常用于从物理系统中的响应函数的虚部计算实部（反之亦然），因为对于稳定系统，因果关系意味着解析性条件，反之，解析性意味着相应稳定物理系统的因果关系 . 该关系以 Ralph Kronig 和 Hans Kramers 的名字命名。

证明从柯西剩余定理在复数积分中的应用开始。 我们选择轮廓来追踪实轴，在 ω ′ = ω 处的极点上有一个驼峰，以及在上半平面中的一个大半圆。 然后，我们将积分分解为沿这三个轮廓线段的每一个的贡献，并将它们传递给极限。 半圆段的长度按比例增加 | ω ′ | ，但它的积分在极限处消失，因为 χ ( ω ′ ) 比 1 / | 消失得更快 ω ′. 我们只剩下沿实轴的线段和围绕极点的半圆。

最后一个表达式中的第二项是使用留数理论获得的，更具体地说是 Sokhotski–Plemelj 定理。

我们可以将 Kramers–Kronig 形式主义应用于响应函数。 在某些线性物理系统中，或在信号处理等工程领域中，响应函数 χ ( t − t ′ )  描述了一些时间相关的属性 P ( t ) 在时间 t ′ 响应冲量 F ( t ′ ) 。