伊辛模型

伊辛模型（Ising model）是一类描述物质相变的随机过程（stochastic process）模型。物质经过相变，要出现新的结构和物性。发生相变的系统一般是在分子之间有较强相互作用的系统，又称合作系统。

伊辛模型所研究的系统由多维周期性点阵组成，点阵的几何结构可以是立方的或六角形的，每个阵点上都赋予一个取值表示自旋变数，即自旋向上或自旋向下。伊辛模型假设只有最近邻的自旋之间有相互作用，点阵的位形用一组自旋变数来确定。常见的二维伊辛模型示意图使用箭头方向表示自旋方向。

伊辛模型，以物理学家伊辛 ( Ernst Ising ) 和威廉·楞次 ( Wilhelm Lenz ) 的名字命名，是统计力学中铁磁性的数学模型。

该模型由离散变量组成，这些变量表示可以处于两种状态（+1 或 -1）之一的原子自旋的磁偶极矩。

自旋排列在图形中，通常是格子（局部结构在所有方向上周期性重复），允许每个自旋与其邻居相互作用。 同意的相邻自旋比不同意的自旋具有更低的能量；该系统趋向于最低能量，但热量会干扰这种趋势，从而产生不同结构相的可能性。

该模型允许将相变识别为现实的简化模型。二维方格伊辛模型是显示相变的最简单的统计模型之一。

伊辛模型是由物理学家威廉·楞次 ( Wilhelm Lenz 1920 年）发明的，他将其作为问题交给了他的学生伊辛 ( Ernst Ising )。

一维伊辛模型由伊辛（1925）在其1924年的论文中独自解决；它没有相变。

二维方格伊辛模型要难得多，直到很久以后才由拉斯·昂萨格( Lars Onsager 1944) 给出了分析描述。它通常通过传递矩阵方法来解决，尽管存在不同的方法，更多地与量子场论相关。

在大于四维的情况下，伊辛模型的相变用平均场理论描述。

没有外场的伊辛问题可以等效地表述为可以通过组合优化来解决的图最 大切割（Max-Cut）问题。

考虑一组 Λ 的晶格点，每个点都有一组相邻的点（例如图形），形成一个 d 维点阵。对于每个格点 k ∈ Λ 都有一个离散变量 σk 使得 σk ∈ {+1, -1}，表示该点的自旋。自旋配置 σ = (σk)k ∈ Λ 是每个晶格位置的自旋值分配。

对于任意两个相邻站点 i, j ∈ Λ，存在交互 Jij。 此外，一个站点 j ∈ Λ 有一个与之相互作用的外部磁场 hj。

其中第 一个总和超过相邻自旋对（每对都计算一次）。符号 ⟨ij⟩ 表示站点 i 和 j 是最近的邻居。磁矩由 µ 给出。请注意，上面哈密顿量的第二项中的符号实际上应该是正的，因为电子的磁矩与其自旋反平行，但通常使用负项。

其中 β = (kBT)−1，以及归一化常数

Z β = ∑ σ e − β H ( σ ) {displaystyle Z_{beta }=sum _{sigma }e{-beta H(sigma )}}

是配分函数。对于自旋函数 f（可观察），一个表示为

⟨ f ⟩ β = ∑ σ f ( σ ) P β ( σ ) {displaystyle langle frangle _{beta }=sum _{sigma }f(sigma )P_ {beta }(sigma )}

f 的期望（平均）值。

配置概率 Pβ(σ) 表示（平衡时）系统处于配置为 σ 的状态的概率。

哈密顿函数 H(σ) 的每一项上的减号是约定俗成的。 使用这个符号约定，伊辛模型可以根据相互作用的符号分类：如果，对于一对 i，j

j i j > 0 {displaystyle J_{ij}>0} ，相互作用称为铁磁，J i j <; 0 {displaystyle J_{ij}<0} ，相互作用称为反铁磁，J i j = 0 {displaystyle J_{ij}=0} ，自旋是非相互作用的。 如果所有相互作用都是铁磁的或所有的都是反铁磁的，则该系统称为铁磁或反铁磁。

最初的伊辛模型是铁磁性的，人们仍然经常认为伊辛模型是指铁磁性的伊辛模型。在铁磁伊辛模型中，自旋需要对齐：相邻自旋具有相同符号的配置具有更高的概率。在反铁磁模型中，相邻的自旋往往具有相反的符号。H(σ) 的符号约定也解释了自旋位点 j 如何与外场相互作用。即自旋部位要与外场对齐。如果： hj＞ 0 {displaystyle h_{j}>0} ，自旋位点 j 欲向正方向排列，h j <; 0 {displaystyle h_{j}<0} ,自旋位点j欲向负方向排列,h j = 0 {displaystyle h_{j}=0} ,自旋不受外界影响。