平稳过程

平稳随机过程是一种特殊的随机过程，因此是概率论的研究对象。 一是区分

• 弱平稳过程（很少也称为协方差平稳过程）
• 强平稳过程，其中添加的“强”经常被省略，人们只说平稳过程。

两者都具有与时间无关的特性。

平稳性是时间序列分析中随机过程最重要的特性之一。 有了平稳性，人们获得的属性不仅对各个时间点有效，而且随着时间的推移保持不变。 时间序列在所有时间点具有相同的期望值和相同的方差。 （最重要的一类非平稳过程是集成过程。）

有了第 一个属性，我们可以继续进行新的过程 x t − E ( x t ) 那么 E ( x t − E ( x t ) ) = 0成立。 此过程也称为居中过程。 因此，我们可以不失一般性地假设平稳随机过程的均值为 0。

第二个性质简单地说，每个随机变量都有有限方差，因此属于希尔伯特空间 L 2。 由此得出期望值 E ( x t ) 存在。

第三个要求建立了不同时间点之间的关系，因此是最重要的属性。 它指出时间点之间的协方差不取决于两个时间点本身，而仅取决于两个时间点之间的距离 r = t 2 − t 1两个时间点。 条件也可以这样表述： 1} +r})} 是一个变量 r 的函数。 其结果之一是 Γ = E ( x x ∗ ) − E ( x ) E ( x ∗ ) 是无限块 Toeplitz 矩阵。

单变量情况（ n = 1 {displaystyle n=1} ）的几何解释使用希尔伯特空间 L 2 {displaystyle L^{2}} ，其元素是过程的各个随机变量。 几何解释支持对平稳性概念的更深入理解。

由于 E ( x t 2 ) 是 L 2 中的范数，要求 E ( x t 2 ) = γ ( 0 )  可以理解为所有过程变量具有相同的长度，即 H。 躺在一个球上。

E ( x t + s x t ) = γ ( s ) 然后，根据上述解释，对于固定的 s 所有 x t  围成相同的角度。 如果你将 s增加一，旋转总是继续相同的角度。

要求 (ii) 无非是 ⟨ x t , 1 ⟩ = m ，即单元和每个过程变量之间的角度是恒定的。 这里从单位球体中切出一个纬度。

使非平稳时间序列平稳是一项重要的首要任务我的时间序列分析。 这里常用的方法是形成差异、重新缩放或对时间序列取对数。 更一般地说，人们可以尝试使用适当的趋势-季节性模型获得固定时间序列。

最重要的（弱）平稳过程是白噪声。 此外，某些高斯过程和 ARMA 模型是固定的。 在某些条件下稳定的谐波过程也具有理论上的重要性。 此外，以平稳分布开始的马尔可夫链是平稳过程。

离散时间的平稳随机过程，作为典型过程给出，可以理解为保测动态系统。

然后 X n ( ω ) = X 0 ( τ n ( ω ) ) 并且过程由τ 的迭代应用。 因此，它是一个动态系统，由于其平稳性而保持维度。 在此基础上，还可以定义遍历随机过程，应用遍历理论的重要定理，如个体遍历定理，从而为随机变量的相关序列提供强大数定律。