解释（逻辑）

解释是对一种形式语言的符号的意义分配。许多在数学、逻辑学和理论计算机科学中使用的形式语言完全是用句法术语来定义的，因此在它们被赋予某种解释之前没有任何意义。对形式语言的解释的一般研究被称为形式语义学。最常研究的形式逻辑是命题逻辑、谓词逻辑和它们的模态类似物，对于这些逻辑，有标准的方法来呈现解释。在这些背景下，解释是一个提供对象语言的符号和符号串的扩展的函数。例如，一个解释函数可以把谓词T（表示高大）分配给它的扩展名{a}（表示林肯）。请注意，我们的解释所做的只是把扩展{a}分配给非逻辑常数T，而没有对T是否代表高大和'a'代表林肯提出主张。逻辑解释对"和"、"或"和"不"等逻辑连接词也没有任何说法。尽管我们可能认为这些符号代表了某些事物或概念，但这并不是由解释功能决定的。解释通常（但不总是）提供一种方法来确定语言中句子的真值。如果一个给定的解释给一个句子或理论分配了真值，那么这个解释就被称为该句子或理论的一个模型。

一种形式语言由一个可能是无限的句子集（可称为词或公式）组成，这些句子集由一组固定的字母或符号构成。从这些字母中提取的清单被称为字母表，语言是在字母表上定义的。为了将形式语言中的符号串与任意的符号串区分开来，前者有时被称为良好形式的公式（wff）。形式语言的基本特征是，它的语法可以在不参考解释的情况下被定义。例如，我们可以确定（P或Q）是一个形式良好的公式，即使不知道它是真还是假。

一个形式化语言W{displaystyle{mathcal{W}}可以用字母表定义。｝可以用字母表来定义α={△,◻}{displaystyle{mathcal{W}}可以用字母表α={△,◻}来定义。{displaystyle{mathcal{W}}如果一个词是以W开头的，那么它就在W中。｝

在命题逻辑和谓词逻辑的具体情况下，所考虑的形式语言的字母表被分为两组：逻辑符号（逻辑常数）和非逻辑符号。这个术语背后的想法是，无论研究的主题是什么，逻辑符号都有相同的含义，而非逻辑符号的含义则根据研究的领域而改变。逻辑常数总是被标准种类的每一种解释赋予相同的含义，因此只有非逻辑符号的含义发生了变化。逻辑常数包括量词符号∀（全部）和∃（部分），逻辑连接词符号∧（和），∨（或），¬（非），括号和其他分组符号，以及（在许多处理中）平等符号=。

许多通常研究的解释将形式语言中的每个句子与一个真值联系起来，即真或假。这些解释被称为真值函数；它们包括命题逻辑和一阶逻辑的通常解释。通过某个特定的赋值使之成为真的句子被称为被该赋值所满足。在经典逻辑中，没有一个句子可以通过同一个解释既是真的又是假的，尽管这在诸如LP这样的糯米逻辑中不是真的。然而，即使在经典逻辑中，同一个句子的真值在不同的解释下也有可能是不同的。如果一个句子在至少一种解释下是真的，那么它就是一致的；否则就是不一致的。如果一个句子φ在每个解释下都被满足，则称其为逻辑有效（如果φ被每个满足ψ的解释所满足，则称φ是ψ的逻辑结果）。

语言中的一些逻辑符号（除量词外）是表示真值函数的真值功能连接词--以真值为参数、以真值为输出的函数。