边界粒子法

在应用数学中，边界粒子法（BPM）是一种仅有边界的无网格（无网格）配位技术，即在非均质偏微分方程的数值解中不需要内部节点。数值实验表明，BPM具有频谱收敛性。其插值矩阵可以是对称的。

近几十年来，双重互易法（DRM）和多重互易法（MRM）作为有前途的技术出现，与边界离散化技术，如边界元法（BEM）一起评价非均质偏微分方程的特殊解。例如，所谓的DR-BEM和MR-BEM是在非均质问题的数值解中流行的BEM技术。DRM已经成为评估特定解决方案的常用方法。然而，DRM需要内部节点来保证收敛性和稳定性。与DRM相比，MRM的优势在于它不需要对非均质问题使用内结点。与DRM相比，MRM在构建插值矩阵方面的计算成本较高，并且由于其在湮灭过程中传统地使用高阶拉普拉斯算子，对一般非均质问题的适用性有限。递归复合多重互易方法（RC-MMM），被提出来以克服上述问题。RC-MRM的关键思想是采用高阶复合微分算子而不是高阶拉普拉斯算子来消除治理方程中的一些非均质项。RC-MRM使用MRM插值矩阵的递归结构来降低计算成本。边界粒子法（BPM）是一种非均质偏微分方程的纯边界离散化，它将RC-MMM与强形式的无网格边界配位离散化方案相结合，如基本解法（MFS）、边界结法（BKM）、规则化无网格法（RMM）、奇异边界法（SBM）和Trefftz法（TM）。BPM已被应用于非均质亥姆霍兹方程和对流-扩散方程等问题。BPM的插值表示是小波序列。

对于BPM在Helmholtz、Poisson和板块弯曲问题上的应用，经常使用高阶基本解或一般解、谐波函数或Trefftz函数（T-complete函数），例如Berger、Winkler和振动薄板方程的解。该方法已被应用于与Poisson和非均质Helmholtz方程相关的逆Cauchy问题。进一步评论BPM在解决具有复杂源函数的问题时可能会遇到困难，如非光滑的大梯度函数，或一组离散的测量数据。这类问题的解决涉及到。(1)复杂的函数或一组离散的测量数据可以通过多项式或三角函数序列的总和来插值。然后，RC-MMM可以将非均质方程还原为高阶均质方程，BPM可以实现只用边界离散化来解决这些问题。(2)域分解可用于在BPM中仅以边界方式解决大梯度源函数问题。