条件数

在数值分析中，一个函数的条件数衡量的是输入参数发生微小变化时，该函数的输出值能改变多少。这被用来衡量一个函数对输入的变化或错误有多敏感，以及输出中的错误有多少是由输入的错误导致的。通常，我们要解决的是反问题：给定f(x)=y。我们正在求解x，因此必须使用（局部）逆的条件数。在线性回归中，矩矩阵的条件数可以作为多重共线性的诊断。条件数是导数的一种应用，正式定义为输入相对变化时输出的渐近最坏情况的相对变化值。该函数是一个问题的解决方案，参数是问题中的数据。条件数经常被应用于线性代数中的问题，在这种情况下，导数是直接的，但误差可能是在许多不同的方向上，因此从矩阵的几何图形中计算出来。更广泛地说，条件数可以定义为几个变量的非线性函数。一个条件数低的问题被称为条件良好，而一个条件数高的问题被称为条件不良。在非数学术语中，条件不良的问题是指输入（自变量）的微小变化会导致答案或因变量的巨大变化。这意味着方程的正确解/答案变得很难找到。条件数是问题的一个属性。

与问题配对的是任何数量的算法，可以用来解决这个问题，也就是计算出解决方案。一些算法有一个称为后向稳定性的属性；一般来说，后向稳定的算法可望准确解决条件好的问题。数值分析教科书给出了问题的条件数的公式，并确定了已知的后向稳定算法。作为一条经验法则，如果条件数位数的精度，而数字方法会因为算术方法的精度损失而损失。然而，条件数并没有给出算法中可能出现的xxx不准确度的准确值。它通常只是用一个估计值对其进行限定（其计算值取决于测量不准确度的准则的选择）。

例如，与线性方程Ax=b相关的条件数给出了近似后解x的不精确程度的约束。请注意，这是在考虑到舍入误差的影响之前；条件数是矩阵的属性，而不是用于解决相应系统的计算机的算法或浮点精度。特别是，我们应该把条件数看成是（非常粗略的）解决方案x在b变化时的变化率。因此，如果条件数很大，即使b的小误差也会导致x的大误差。条件数被更精确地定义为x的相对误差与b的相对误差的xxx比率。假设A是一个非星形矩阵，那么解A-1b的误差就是A-1e。