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理查森外推法 编辑

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理查森外推法

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在数值分析中,理查森外推法是一种序列加速方法,用于提高某个数值的估计序列的收敛率。.它是以LewisFryRichardson的名字命名的,他在20世纪初引入了这一技术,尽管这一想法在ChristiaanHuygens计算π的过程中就已经知道。Richardson外推法的实际应用包括Romberg积分,它将Richardson外推法应用于梯形规则,以及用于解决常微分方程的Bulirsch-Stoer算法。

理查德森外推法的例子

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假设我们希望近似于{displaystyleA{*}},而我们有一个方法可以解决这个问题。被称为A(h)的Richardson外推法,并有一个高阶误差估计值很多时候,使用R(h)而不是A(h′)更容易获得一个给定的精度,而且h′要小得多。其中A(h′)由于精度有限(四舍五入误差)和/或由于需要的计算次数越来越多,可能会造成问题(见下面的例子)。

理查森外推法

一般公式

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{displaystyleA{*}=A(h)+a_{0}h{k_{0}}+a_{1}h{k_{1}}+a_{2}h{k_{2}}+cdots}其中ai是未知常数,ki是已知常数,使得hki>hki+1。此外,k0是截断误差的前导阶数行为,为{displaystyleA{*}=A!left({frac{h}{t}}right)+a_{0}left({frac{h}{t}}right){k_{0}}+O(h{k_{1}}).}将第二个方程乘以tk0,然后减去xxx个方程,就可以得到{displaystyleO(h{k_{0})}对于相同的步长,O(h{k_{0})}是一个很好的例子。对于相同的步骤大小{displaystyleh}通过这个过程,我们通过减去误差中xxx的项,即O(hk0),实现了对A的更好的近似。这个过程可以重复进行,以去除更多的误差项,得到更好的近似值。一个一般的递归关系从{displaystyleA_{0}=A(h)}开始的一般递归关系。可以通过以下方式对近似值进行定义


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  1. 理查森外推法
  2. 理查德森外推法的例子
  3. 一般公式

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