残余格子

在抽象代数中，残余格子是一种代数结构，它同时是一个格子x≤y和一个单体x-y，当x-y被看作是乘法或合法时，它可以接受操作x/z和z/y，松散地类似于除法或暗示。这些操作分别被称为右残差和左残差，当单体是换元的时候，这些操作是重合的。其中一些例子在一般概念之前就已经存在，包括布尔数组、Heyting数组、残差布尔数组、关系数组和MV数组。残差半矩阵省略了满足操作∧，例如Kleene矩阵和行动矩阵。

在数学中，一个残余半格是一个代数结构L=(L,≤,-,I)，使得(i)(L,≤)是一个格子。(ii)(L,-,I)是一个单数。(iii)对于所有的z，每一个x都存在一个xxx的y，每一个y都存在一个xxx的x，这样x-y≤z（残差属性）。在(iii)中，xxx的y是z和x的函数，被称为xz，并被称为x对z的右残余部分，可以认为它是z在左边除以x后的剩余部分。(iii)'对于L中的所有x、y、z，y≤xz⇔x-y≤z⇔x≤z/y。如同符号所暗示的，残差是一种商的形式。更确切地说，对于L中的一个给定的x，单项运算x-和x分别是L上的伽罗瓦连接的下邻和上邻，同样是两个函数-y和/y。通过适用于任何伽罗瓦连接的相同推理，我们有另一个关于残差的定义，即。(当用(iii)或(iii)'公理化时，单调性成为一个定理，因此在公理化中没有要求。)这些给出了一个意义，在这个意义上，函数x-和x/是彼此的假顶点或邻接点，同样，对于-x和/x也是如此。最后这个定义纯粹是以不等式为基础的，注意到单调性可以被公理化为x-y≤(x∨z)-y，其他运算及其论据也是如此。此外，任何不等式x≤y都可以用方程表示，要么x∧y=x，要么x∨y=y。这与公理化格子和单体的方程一起，产生了残差格子的纯等式定义，只要把必要的运算连接到签名(L,≤,-,I)上，从而把它扩展为(L,∧,∨,-,I,/,)。当这样组织时，残差格形成一个等价类或品种，其同态性尊重残差以及格子和单体运算。

一般来说，"-"在∨上的必要分布性并不意味着"∧"在∨上的分布性，也就是说，一个残差格子不一定是一个分布格子。然而，当-和∧是同一个运算时，∧在∨上的分布性是必然的，这是一个被称为Heyting代数的残差格子的特殊情况。x-y的替代符号包括x◦y,x;y(关系代数),和x⊗y(线性逻辑)。I的替代符号包括e和1'。残差的替代符号是x→y表示xy，y←x表示y/x，这是由逻辑中残差和隐含的相似性提出的，单体的乘法被理解为一种不需要换元的联结形式。当单体是换元的时候，两个残差是重合的。

研究残差格的最初动机之一是环的（两面）理想格。给定一个环R，R的理想，表示为Id(R)，形成一个完整的格子，集合相交作为满足操作，理想相加作为连接操作。单体运算--是由理想乘法给出的，Id(R)的元素R作为这个运算的身份。给出Id(R)中的两个理想A和B，其残差由以下公式给出值得注意的是，{0}/B和B{0}分别是B的左和右的湮没者。