内部代数

在抽象代数中，内部代数是某种类型的代数结构，它编码了一个集合的拓扑学内部的概念。

内部代数对于拓扑学和模态逻辑S4来说，就像布尔代数对于集合论和普通命题逻辑一样。内部代数构成了模态代数的一个种类。

内部代数是一种代数结构，其签名为是一个布尔代数，后缀I指定一个单项运算符，即内部运算符，满足相同的条件。xI≤xxII=xI(xy)I=xIyI1I=1xI被称为x的内部。内部算子的对偶是封闭算子C，定义为xC=((x′)I)′.xC被称为x的封闭。xC≥xxCC=xC(x+y)C=xC+yC0C=0如果闭合算子被当作基元，内部算子可以被定义为xI=((x′)C)′。

因此，可以用闭合算子代替内部算子来表述内部矩阵的理论，在这种情况下，可以考虑形式为⟨S,-,+,′,0,1,C⟩的闭合矩阵，其中⟨S,-,+,′,0,1⟩又是一个布尔代数，C满足上述闭合算子的特性。

闭合和内部代数形成对偶，是有算子的布尔代数的典型实例。

这方面的早期文献（主要是波兰拓扑学）引用了闭合算子，但在WimBlok的工作之后，内部算子的表述最终成为规范。

内部代数中满足xI=x条件的元素被称为开放元素。开放元素的补体被称为封闭元素，其特征是条件xC=x。

一个元素的内部总是开放的，一个元素的封闭总是封闭的。封闭元素的内部被称为有规律的开放，开放元素的封闭被称为有规律的封闭。

既开放又封闭的元素被称为clopen。0和1是闭合的。如果一个内部代数的所有元素都是开放的（因此也是闭合的），那么这个内部代数就被称为布尔型。

布尔内部代数可以与普通的布尔代数相鉴别，因为它们的内部和闭合运算符没有提供有意义的额外结构。

一个特殊的情况是琐碎的内部矩阵类，它是以0=1为特征的单元素内部矩阵。

内层bras，由于是代数结构，所以有同态性。给定两个内部代数A和B，当且仅当f是A和B的底层布尔代数之间的同态性时，一个映射f：A→B是一个内部代数同态性，它也保留了内部和闭合。因此。f(xI)=f(x)I;f(xC)=f(x)C.拓扑结构拓扑结构是另一个重要的，也是更普遍的一类内部代数之间的形态关系。

当且仅当f是A和B的基础布尔数组之间的同态性时，一个映射f：A→B是一个拓扑结构，它也保留了A的开放元素和封闭元素。因此，如果x在A中是开放的，那么f(x)在B中是开放的；如果x在A中是封闭的，那么f(x)在B中是封闭的（这种形态也被称为稳定同态和封闭代数半同态）。

每个内部代数同构都是一个拓扑，但不是每个拓扑都是内部代数同构。

早期的研究经常考虑内部代数之间的映射，这些映射是基础布尔代数的同态性，但不一定保留内部或闭合算子。这样的映射被称为布尔同构。(闭合同构或拓扑同构被用于保留这些运算的情况，但现在这个术语是多余的，因为普遍代数中同构的标准定义要求它保留所有的运算）。

涉及到可数完整内部代数的应用（其中可数满足和连接总是存在的，也称为σ-完整）通常使用可数完整布尔同态，也称为布尔σ同态--这些保留可数满足和连接。

最早将连续性泛化到内部代数的是Sikorski的基于连续映射的反像映射。这是一个布尔同构，保留了序列的联合，并将一个反像的闭合包含在闭合的反像中。

因此，Sikorski将连续同构定义为两个σ-完整的内涵式之间的布尔σ同构f，使得f（x）C≤f（xC）。

这个定义有几个困难。该结构的作用是禁忌地产生一个连续地图的对偶，而不是一个泛化。