互相关

在信号处理中，交叉相关是衡量两个序列的相似性的函数，即一个序列相对于另一个的位移。这也被称为滑动点积或滑动内积。它通常用于搜索一个长信号的较短的已知特征。它在模式识别、单粒子分析、电子断层扫描、平均化、密码分析和神经生理学方面有应用。交叉相关在性质上类似于两个函数的卷积。在自相关中，也就是信号与自身的交叉相关中，总会有一个滞后于零的峰值，其大小为信号能量。

在概率论和统计学中，交叉相关一词指的是两个随机向量X {displaystyle mathbf {X} }和Y {displaystyle mathbf {Y} }的条目之间的相关性。}而随机向量X {displaystylemathbf {X} }的相关性是X {displaystylemathbf {X} }本身的条目之间的相关性，那些形成X {displaystylemathbf {X} }的相关矩阵。.如果X {displaystylemathbf {X}}和Y {displaystylemathbf {Y}}中的每一个都是标量随机变量，而这些标量随机变量是由X {displaystylemathbf {X}}的相关矩阵组成的。}是一个标量随机变量，在一个时间序列中反复实现，那么X {displaystylemathbf {X}}的各种时间实例的相关性被称为X {displaystylemathbf {X}}的自相关。而X {displaystylemathbf {X}}与Y {displaystylemathbf {Y}}在时间上的交叉关系是时间交叉关系。}在不同时期的关系是时间上的交叉关系。在概率论和统计学中，相关的定义总是包括一个标准化的因素，这样一来，相关的值就在-1和+1之间。

如果X {displaystyle X}和Y {displaystyle Y}是两个独立的随机变量，其概率密度函数f {displaystyle f}和g {displaystyle g}分别为那么，差值Y-X {Y-X}的概率密度正式由交叉相关（在信号处理意义上）f ⋆ g { fdisplaystyle fstar g}给出；然而，这个术语在概率和统计学中没有使用。相比之下，卷积f∗g {displaystyle f*g}（相当于f ( t ) { f(t)}和g ( - t ) { g(-t)}的交叉相关）给出了X+Y {displaystyle X+Y}之和的概率密度函数。

对于连续函数f {displaystyle f}和g {displaystyle g}来说，交叉相关是指，交叉相关被定义为。( f ⋆ g ) ( τ ) ≜ ∫ - ∞ ∞ f ( t ) ¯ g ( t + τ ) d t { fdisplaystyle (fstar g)(tau ) triangleq _{-infty }{infty }{overline {f(t)}g(t+tau )。dt}这相当于 ( f ⋆ g ) ( τ ) ∫ - ∞ ∞ f ( t - τ ) ¯ g ( t ) d t { displaystyle (fstar g)(tau )triangleq {int _{-infty }{infty }{overline {f(t-tau )}g(t)。dt}其中f ( t ) ¯ { {displaystyle {f(t)}}表示f ( t ) {displaystyle f(t)}的复共轭，τ {displaystyle tau }称为位移或滞后。对于高度相关的f {displaystyle f}和g {displaystyle g}，它们在某个特定的τ {displaystyle tau }有xxx的交叉相关。那么，f {displaystyle f}在t {displaystyle t}的特征也会在g {displaystyle g}在t + τ {displaystyle t+tau }的时候出现，因此g {displaystyle f}在t + τ {displaystyle t+tau }的时候出现。因此，g {displaystyle g}可以被描述为滞后于f {displaystyle f}的τ {displaystyle tau }。

如果f {displaystyle f}和g {displaystyle g}都是周期为T {displaystyle T}的连续周期函数，那么从- ∞ {displaystyle g}开始的积分就会被认为是连续的。那么，从- ∞ {{displaystyle -infty }到∞ {{displaystyle infty }的积分被任何长度为T {{displaystyle T}的区间 [ t 0 , t 0 + T ] { t_{0},t_{0}+T]}的积分所取代。( f ⋆ g ) ( τ ) ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) ¯ g ( t + τ ) d t {displaystyle (fstar g)(tau )triangleq tint _{t_{0}}{t_{0}+T}{overline {f(t)}}g(t+tau )。dt}这相当于 ( f ⋆ g ) ( τ ) ∫ t 0 t 0 + T f ( t - τ ) ¯ g ( t ) d t { fdisplaystyle (fstar g)(tau )triangleq int _{t_{0}}{t_{0}+T}{overline {f(t-tau )}g(t), dt}.类似地，对于离散函数，交叉相关的定义为( f ⋆ g ) [ n ] ≜ ∑ m = - ∞ ∞ f [ m ] ¯ g [ m + n ] {\displaystyle (fstar g)[n] triangleq sum _{m=-infty }{infty }{\overline {f[m]}}g[m+n]} 这相当于。( f ⋆ g ) [ n ] ≜ ∑ m = - ∞ ∞ f [ m - n ] ¯ g [ m ] {\displaystyle (fstar g)[n]\triangleq sum _{m=-infty }{infty }{overline {f[m-n]}}g[m]}。对于有限离散函数f , g∈C N {\displaystyle f,g\in mathbb {C} {N}}来说，（环形的）十字交叉函数。，（循环）交叉相关被定义为。( f ⋆ g ) [ n ] ≜ ∑ m = 0 N - 1 f [ m ] ¯ g [ ( m + n ) mod N ] {displaystyle (fstar g)[n] triangleq sum _{m=0}{N-1}{overline {f[m]}}g[(m+n)_{{text{mod}~N}]}这相当于。