滤波问题

在随机过程理论中，过滤描述了从不完整且可能有噪声的观察集确定系统状态的问题。 虽然最初是出于工程问题的动机，但过滤在从信号处理到金融的许多领域都有应用。

Ruslan L. Stratonovich (1959, 1960) 解决了最佳非线性滤波问题（即使对于非平稳情况），另请参阅 Harold J. Kushner 的作品和 Moshe Zakai 的作品，他介绍了一个 称为 Zakai 方程的滤波器的非归一化条件定律的简化动力学。 然而，在一般情况下，解是无限维的。 某些近似值和特殊情况很好理解：例如，线性滤波器最适合高斯随机变量，被称为 Wiener 滤波器和 Kalman-Bucy 滤波器。 更一般地说，由于解是无限维的，因此需要在具有有限内存的计算机中实现有限维近似。 有限维近似非线性滤波器可能更多地基于启发式方法，例如扩展卡尔曼滤波器或假设密度滤波器，或者更面向方法论，例如投影滤波器，其某些子系列显示与假设一致 密度过滤器。

一般来说，如果分离原则适用，那么过滤也会作为最优控制问题解决方案的一部分出现。 例如，卡尔曼滤波器是线性二次高斯控制问题最优控制解的估计部分。

考虑一个概率空间 (Ω, Σ, P) 并假设感兴趣的系统在时间 t 的 n 维欧几里得空间 Rn 中的（随机）状态 Yt 是一个随机变量 Yt : Ω → Rn 由一个问题的解给出 Itō 形式的随机微分方程

其中 B 表示标准 p 维布朗运动，b : [0, +∞) × Rn → Rn 是漂移场，σ : [0, +∞) × Rn → Rn×p 是扩散场。 假设 Rm 中的观测值 Ht（注意 m 和 n 通常可能不相等）根据以下公式对每个时间 t 进行观测

对于所有 t 和 x 以及一些常数 C。

过滤问题如下：给定 0 ≤ s ≤ t 的观测值 Zs，基于这些观测值的系统真实状态 Yt 的最佳估计值 Ŷt 是多少？

基于这些观察，这意味着 Ŷt 相对于由观察 Zs，0 ≤ s ≤ t 生成的 σ-代数 Gt 是可测量的。

通过最佳估计，这意味着 Ŷt 最小化 Yt 与 K 中所有候选者之间的均方距离

候选空间 K(Z, t) 是一个希尔伯特空间，希尔伯特空间的一般理论意味着最小化问题 (M) 的解

其中 PK(Z,t) 表示 L2(Ω, Σ, P; Rn) 在线性子空间 K(Z, t) = L2(Ω, Gt, P; Rn) 上的正交投影。 此外，关于条件期望的一般事实是，如果 F 是 Σ 的任何子 σ-代数，则正交投影。