四极子

四极或四极是电荷或电流或引力质量等可以理想形式存在的一系列配置之一，但它通常只是反映各种复杂性的更复杂结构的多极扩展的一部分。

四极矩张量 Q 是一个二阶张量——3×3 矩阵。有多种定义，但通常以无迹形式表示（即 Q x x + Q y y + Q z z = 0 {\displaystyle Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0} ）。四极矩张量因此有九个分量，但由于转置对称性和零痕量特性，在这种形式中只有五个分量是独立的。

对于 ℓ {\displaystyle \ell } 点电荷或质量的离散系统，在引力四极的情况下，每个点电荷或质量都带有电荷 q ℓ {\displaystyle q_{\ell }} 或质量 m ℓ {\ displaystyle m_{\ell }} 和位置 r → ℓ = ( r x ℓ , r y ℓ , r z ℓ ) {\displaystyle {\vec {r}}_{\ell }=\left(r_{ x\ell },r_{y\ell },r_{z\ell }\right)}相对于坐标系原点

索引 i , j {\displaystyle i,j} 遍历笛卡尔坐标 x , y , z {\displaystyle x,y,z} 和 δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} 是克罗内克三角洲。

这意味着 x , y , z {\displaystyle x,y,z} 必须等于，直到符号，从点到 n {\displaystyle n} 个相互垂直的超平面的距离，克罗内克三角洲等于 1。

在非无痕形式中，四极矩有时表示为：

Q i j = ∑ ℓ q ℓ r i ℓ r j ℓ {\displaystyle Q_{ij}=\sum _{\ell }q_{\ell }r_{i\ell }r_{j\ell }}

这种形式在有关快速多极方法的文献中有一些使用。使用 detracing 运算符可以轻松实现这两种形式之间的转换。

对于电荷密度或质量密度为 ρ ( x , y , z ) {\displaystyle \rho (x,y,z)} 的连续系统，Q 的分量由笛卡尔空间 r 上的积分定义：

Q i j = ∫ ρ ( r ) ( 3 r i r j − ‖ r → ‖ 2 δ i j ) d 3 r {\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (\mathbf {r} ) left(3r_{i}r_{j}-\left\|{\vec {r}}\right\|{2}\delta _{ij}\right)\,d {3}\mathbf {r} }

对于任何多极矩，如果低阶矩（在这种情况下为单极矩或偶极矩）不为零，则四极矩的值取决于坐标原点的选择。例如，两个符号相反、强度相同的点电荷的偶极子没有单极矩，但如果原点正好偏离两个电荷之间的构型中心，则可以具有非零四极矩； 或者四极矩可以减少到零，原点在中心。

相反，如果单极矩和偶极矩消失，但四极矩没有，例如 四个同强度电荷，排列成正方形，符号交替，则四极矩与坐标无关。

如果每个电荷都是 1 / r {\displaystyle 1/r} 势场的来源，例如电场或引力场

其中 R 是以电荷系统为原点的向量，R̂ 是 R 方向的单位向量。也就是说，R ^ i {\displaystyle {\hat {R}}_{i}} 对于 i = x , y , z {\displaystyle i=x,y,z} 是从原点指向场点的单位向量的笛卡尔分量。这里，k {\displaystyle k} 是一个常量，取决于字段的类型和所使用的单位。

电四极杆的一个简单示例由排列在正方形角上的交替正电荷和负电荷组成。这种排列的单极矩（只是总电荷）为零。类似地，偶极矩为零，与已选择的坐标原点无关。但是图中排列的四极矩不能减少到零，不管我们把坐标原点放在哪里。