模除

在计算中，模运算返回除法的余数或带符号的余数，在一个数除以另一个数后（称为运算的模数）。

给定两个正数 a 和 n，模 n（通常缩写为 a mod n）是 a 除以 n 的欧几里德除法的余数，其中 a 是被除数，n 是除数。

例如，表达式 5 mod 2 的计算结果为 1，因为 5 除以 2 的商为 2，余数为 1，而 9 mod 3 的计算结果为 0，因为 9 除以 3 的商为 3，余数为 1 0的余数； 3 乘以 3 后，9 无需再减去任何东西。

虽然通常使用 a 和 n 都是整数来执行，但许多计算系统现在允许其他类型的数字操作数。 n 的整数模运算的值范围是 0 到 n − 1（含 0 和 1）（模 1 始终为 0；模 0 未定义，在某些编程语言中可能导致被零除错误）。 有关在数论中应用的较早和相关的约定，请参阅模块化算术。

当 a 或 n 中恰好有一个为负数时，朴素的定义就失效了，并且编程语言在这些值的定义方式上有所不同。

在数学中，模运算的结果是一个等价类，该类中的任何一个成员都可以被选为代表； 然而，通常的代表是最小正余数，属于该类的最小非负整数（即欧几里得除法的余数）。 然而，其他约定也是可能的。 计算机和计算器有多种存储和表示数字的方法； 因此，它们对模运算的定义取决于编程语言或底层硬件。

在几乎所有的计算系统中，a 除以 n 的商 q 和余数 r 都满足以下条件：

(1)

然而，如果余数不为零，这仍然会留下符号歧义：出现两种可能的余数选择，一种为负，另一种为正，并且出现两种可能的商选择。 在数论中，总是选择正余数，但在计算中，编程语言根据语言和 a 或 n 的符号来选择。 例如，标准 Pascal 和 ALGOL 68 给出正余数（或 0），即使对于负除数也是如此，而一些编程语言，例如 C90，在 n 或 a 中的任何一个为负时将其留给实现（参见§下的表格） 在编程语言中获取详细信息）。 在大多数系统中，模 0 是未定义的，尽管有些系统确实将其定义为 a。

• 许多实现使用截断除法，其商定义为整数部分函数（向零舍入），即截断为零 有效数字。因此根据等式（1），余数与被除数具有相同的符号
• Donald Knuth 提倡底除法， 其中 ⌊⌋ 是 floor 函数（向下舍入）。因此根据 等式（1），余数与除数同号
• Common Lisp 和 IEEE 754 使用舍入除法
• Common Lisp 也使用上限除法，其商定义为 其中 ⌈⌉ 是上限函数（四舍五入）。