作用量-角度坐标

在经典力学中，作用角坐标是一组可用于求解许多可积系统的规范坐标。 作用角法可用于在不求解运动方程的情况下获得振荡或旋转运动的频率。 作用量-角度坐标主要用于Hamilton-Jacobi方程完全可分的情况。 （因此，哈密顿量不明确依赖于时间，即能量守恒。）作用角变量定义了一个不变环面，之所以这样称呼是因为保持作用常数定义了环面的表面，而角度变量参数化了坐标 在圆环上。

在波力学出现之前用于发展量子力学的玻尔-索末菲量子化条件指出作用必须是普朗克常数的整数倍； 类似地，爱因斯坦对 EBK 量化和量化不可积系统的困难的见解是根据作用角坐标的不变环面来表达的。

作用量-角度坐标在哈密顿力学的微扰理论中也很有用，尤其是在确定绝热不变量时。 对于具有少量自由度的动力系统的非线性扰动，混沌理论的最早成果之一是 KAM 定理，该定理指出不变环面在小扰动下是稳定的。

作用角变量的使用是 Toda 晶格解的核心，也是 Lax 对定义的核心，或者更一般地说，是系统等谱演化思想的核心。

作用角来自类型 2 规范变换，其中生成函数是汉密尔顿的特征函数 W ( q ) {displaystyle W(mathbf {q} )}（不是汉密尔顿的主函数 S { displaystyle S}）。 由于原始的哈密顿量不明确依赖于时间，因此新的哈密顿量 K ( w , J ) {displaystyle K(mathbf {w} ,mathbf {J} )} 仅仅是旧的哈密顿量 H ( q , p ) {displaystyle H(mathbf {q} ,mathbf {p} )} 用新的规范坐标表示，我们将其表示为 w {displaystyle mathbf {w} } （ 作用角，即广义坐标）及其新的广义动量 J {displaystyle mathbf {J} } 。 我们不需要在这里求解生成函数 W {displaystyle W} 本身； 相反，我们将仅将其用作关联新旧规范坐标的工具。

我们不是直接定义作用角 w {displaystyle mathbf {w} } ，而是定义它们的广义动量，它类似于每个原始广义坐标的经典作用

J k ≡ ∮ p k d q k {displaystyle J_{k}equiv oint p_{k},mathrm {d} q_{k}}

其中积分路径由恒定能量函数 E = E ( q k , p k ) {displaystyle E=E(q_{k},p_{k})} 隐式给出。 由于实际运动不参与此积分，这些广义动量 J k {displaystyle J_{k}} 是运动常数，这意味着变换后的哈密顿量 K {displaystyle K} 不依赖于共轭广义 坐标 w k {displaystyle w_{k}}

d d t J k = 0 = ∂ K ∂ w k {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}J_{k}=0={frac { 部分 K}{部分 w_{k}}}}

其中 w k {displaystyle w_{k}} 由类型 2 规范变换的典型方程给出

w k ≡ ∂ W ∂ J k {displaystyle w_{k}equiv {frac {partial W}{partial J_{k}}}}

因此，新的哈密顿量 K = K ( J ) {displaystyle K=K(mathbf {J} )} 仅取决于新的广义动量 J {displaystyle mathbf {J} } 。

作用角的动力学由哈密顿方程给出

d d t w k = ∂ K ∂ J k ≡ ν k ( J ) {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}w_{k}={frac { partial K}{partial J_{k}}}equiv nu _{k}(mathbf {J} )}

右侧是运动常数（因为所有 J {displaystyle J} 都是）。 因此，解决方案由下式给出

w k = ν k ( J ) t + β k {displaystyle w_{k}=nu _{k}(mathbf {J} )t+beta _{k}}

其中 β k {displaystyle beta _{k}} 是积分常数。 特别地，如果原始广义坐标经历周期 T {displaystyle T} 的振荡或旋转，则相应的作用角 w k {displaystyle w_{k}} 变化 Δ w k = ν k ( J ) T { displaystyle Delta w_{k}=nu _{k}(mathbf {J} )T} 。