运动常数

在力学中，运动常数是在整个运动过程中守恒的量，实际上对运动施加了约束。 然而，它是一种数学约束，是运动方程的自然结果，而不是物理约束（这需要额外的约束力）。 常见示例包括能量、线性动量、角动量和 Laplace–Runge–Lenz 矢量（用于反平方力定律）。

运动常数很有用，因为它们允许在不求解运动方程的情况下导出运动的属性。 在幸运的情况下，甚至运动的轨迹也可以导出为对应于运动常数的等值面的交集。 例如，Poinsot 的构造表明，刚体的无扭矩旋转是球体（总角动量守恒）和椭球体（能量守恒）的交点，否则可能难以导出轨迹 并可视化。 因此，确定运动常数是力学中的一个重要目标。

有几种方法可以确定运动常数。

• 最简单但最不系统的方法是直觉（心理）推导，其中假设一个量是恒定的（可能是因为实验数据），然后在数学上表明在整个运动过程中是守恒的。
• Hamilton-Jacobi 方程提供了一种常用且直接的方法来确定运动常数，尤其是当 Hamiltonian 在正交坐标中采用可识别的函数形式时。
• 另一种方法是识别守恒量对应于拉格朗日量的对称性。 诺特定理提供了一种从对称性中推导出这些量的系统方法。 例如，能量守恒源于拉格朗日量在时间原点偏移下的不变性，线性动量守恒源于拉格朗日量在空间原点偏移（平移对称性）下的不变性以及角动量守恒源于 拉格朗日量在旋转下的不变性。 反之亦然； 拉格朗日量的每个对称性都对应一个运动常数，通常称为守恒电荷或守恒电流。
• 如果总时间导数为零，则量 A {\displaystyle A} 是运动常数

另一个有用的结果是泊松定理，它指出如果两个量 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 是运动常数，那么它们的泊松括号 { A , B } {\displaystyle \{A,B\}} 。

具有 n 个自由度和 n 个运动常数的系统，使得任何一对运动常数的泊松括号消失，被称为完全可积系统。 据说这样一组运动常数相互对合。 对于封闭系统（拉格朗日不明确依赖于时间），系统的能量是运动常数（守恒量）。

如果可观察量 Q 与哈密顿量 H 互换，并且它本身并不明确依赖于时间，则它是一个运动常数。

假设有一些可观察到的量 Q 取决于位置、动量和时间，

对 Q 的期望值求时间导数需要使用乘积法则

对于量子力学系统的任意状态，如果 H 和 Q 交换

但是如果 ψ {\displaystyle \psi } 是哈密顿量的特征函数