阿诺索夫微分同胚

在数学中，尤其是在动力系统和几何拓扑领域，流形 M 上的 Anosov 映射是一种特定类型的映射，从 M 到自身，具有相当明显的局部膨胀和收缩方向。 Anosov 系统是 Axiom A 系统的特例。

阿诺索夫微分同胚是由 Dmitri Victorovich Anosov 引入的，他证明了它们的行为在适当意义上是通用的（当它们存在时）。

必须区分三个密切相关的定义：

• 如果 M 上的可微映射 f 在切丛上具有双曲结构，则称为 Anosov 映射。 示例包括伯努利映射和阿诺德的猫映射。
• 如果映射是微分同胚，则称为阿诺索夫微分同胚。
• 如果流形上的流将切束分成三个不变子束，一个子束呈指数收缩，一个呈指数膨胀，第三个不膨胀、不收缩的一维子束 （由流向跨越），则该流称为 Anosov 流。

阿诺索夫微分同虚的一个经典例子是阿诺德的猫图。

Anosov 证明阿诺索夫微分同胚在结构上是稳定的，并且形成了具有 C1 拓扑的映射（流）的开放子集。

不是每个流形都承认阿诺索夫微分同胚； 例如，球面上没有这样的微分同胚。 容许它们的紧流形的最简单例子是环面：它们容许所谓的线性阿诺索夫微分同胚，它们是没有模数 1 特征值的同构。已证明任何其他阿诺索夫微分同 环面上的胚在拓扑上与其中一种共轭。

对承认阿诺索夫微分同胚的流形进行分类的问题被证明是非常困难的，到 2012 年仍然没有答案。 xxx已知的例子是 infranil 流形，并且推测它们是xxx的例子。

传递性的一个充分条件是所有点都是非漫游的：Ω ( f ) = M {\displaystyle \Omega (f)=M} 。

此外，尚不清楚每个 C 1 {\displaystyle C{1}} 体积保持阿诺索夫微分同虚是否遍历。 Anosov 在 C 2 {\displaystyle C{2}} 假设下证明了这一点。 对于 C 1 + α {\displaystyle C{1+\alpha }} 体积保持阿诺索夫微分同胚也是如此。

作为一个例子，本节开发了负曲率黎曼曲面的切丛上的 Anosov 流的情况。 可以根据双曲几何的 Poincaré 半平面模型的切束上的流动来理解这种流动。 负曲率的黎曼曲面可以定义为 Fuchsian 模型，即上半平面与 Fuchsian 群的商。

对于以下，令 H 为上半平面； 设 Γ 为 Fuchsian 群； 令 M = H/Γ 为负曲率黎曼曲面，作为 M 与群 Γ 作用的商，并令 T 1 M {\displaystyle T{1}M} 为单位长度向量的切束 在流形 M 上，设 T 1 H {\displaystyle T{1}H} 为 H 上单位长度向量的切丛。请注意，曲面上的单位长度向量丛是 复杂的线束。

我们首先注意到 T 1 H {\displaystyle T{1}H} 同构于李群 PSL(2,R)。 这个群是上半平面的保向等距群。 PSL(2,R) 的李代数为 sl(2,R)