希尔伯特第十六问题

希尔伯特第16问题是著名数学家希尔伯特(Hilbert,D.)提出的涉及平面多项式系统极限环存在和分布问题的重要数学难题。要彻底解决希尔伯特第16问题还有相当大的难度。

希尔伯特第 16 个问题是大卫·希尔伯特在 1900 年国际数学家大会巴黎会议上提出的，是他列出的 23 个数学问题之一。

最初的问题被提出为代数曲线和曲面的拓扑问题。

实际上，该问题由数学不同分支中的两个类似问题组成：

• 研究 n 次实代数曲线分支的相对位置（对于代数曲面也是如此）。
• n 次二维多项式向量场中极限环数上限的确定及其相对位置的研究。

n = 8 时第 一个问题尚未解决。因此，这个问题通常是在谈论实代数几何中的希尔伯特第十六题时所指的问题。

第二个问题也仍未解决：对于任何 n > 的情况，极限循环数的上限未知。1，这就是希尔伯特第十六题在动力系统领域中通常的意思。

1876 年，Harnack 研究了实射影平面中的代数曲线，发现 n 次曲线的长度不超过

n 2 − 3 n + 4 2 {displaystyle {n{2}-3n+4 over 2}}

分离连接的组件。此外，他展示了如何构建达到该上限的曲线，因此它是最佳可能的界限。 具有该数量组件的曲线称为 M 曲线。

希尔伯特研究了 6 次 M 曲线，发现 11 个分量总是以某种方式分组。 他现在对数学界的挑战是彻底研究 M 曲线分量的可能配置。

此外，他要求将 Harnack 曲线定理推广到代数曲面，并对具有最 大分量数的曲面进行类似的研究。

在这里，我们将考虑实平面中的多项式矢量场，即以下形式的微分方程组：

d x d t = P ( x , y ) , d y d t = Q ( x , y ) {displaystyle {dx over dt}=P(x,y),qquad {dy over dt}=Q(x ,y)}

其中 P 和 Q 都是 n 次实数多项式。

庞加莱研究了这些多项式向量场，他产生了放弃寻找系统精确解的想法，而是试图研究所有可能解集合的定性特征。

在众多重要发现中，他发现此类解的极限集不必是驻点，而可以是周期解。 这样的解决方案称为极限环。

希尔伯特第 16 题的第二部分是确定 n 次多项式向量场中极限环数的上限，并且与第 一部分类似，研究它们的相对位置。

Yulii Ilyashenko 和 Jean Écalle 在 1991/1992 年证明平面中的每个多项式向量场只有有限多个极限环（Henri Dulac 在 1923 年发表的一篇文章声称该陈述的证明在 1981 年被证明包含间隙） . 这个说法并不明显，因为在具有无限多个同心极限环的平面上很容易构造光滑 (C∞) 向量场。

对于任何 n > n，是否存在 n 次平面多项式向量场的极限环数的有限上限 H(n) 的问题仍未解决。 1.（H(1) = 0，因为线性向量场没有极限环。）Evgenii Landis 和 Ivan Petrovsky 在 1950 年代提出了一个解决方案，但在 1960 年代初期证明是错误的。 具有四个极限环的二次平面矢量场是已知的。 二次平面矢量场中四个极限环的数值可视化示例可以在中找到。一般来说，通过数值积分估计极限环数量的困难是由于嵌套的极限环具有非常窄的吸引区域，这 是隐藏的吸引子和半稳定极限环。

至今尚未能证明二次系统最多只能有四个极限环。

对于三次系统（即n=3时）也有不少研究成果，已经获得了如下的实例：在一个奇点外 围邻近聚集有8个极限环，也存在三次系统其相互嵌套着的极限环至少有11个。

对n≥4的系统则研究甚少。

总之，要彻底解决希尔伯特第16问题还有相当大的难度。