旋转体

在几何学中，旋转立体是通过将平面图形绕位于同一平面上的某条直线（旋转轴）旋转而得到的立体图形。 由这个xxx创造的并且限制固体的表面是xxx的表面。

假设曲线不与轴相交，则实体的体积等于图形质心所描述的圆的长度乘以图形的面积（帕普斯第二质心定理）。

代表性圆盘是旋转体的三维体积元素。 该元素是通过绕某个轴（距离 r 个单位）旋转一条线段（长度为 w）来创建的，因此包含一个 πr2w 个单位的圆柱体。

求旋转体体积的两种常用方法是圆盘积分法和壳积分法。 要应用这些方法，最简单的方法是绘制有问题的图形； 确定要围绕旋转轴旋转的区域； 确定厚度为 δx 的圆盘形固体切片或宽度为 δx 的圆柱壳的体积； 然后找到当 δx 接近 0 时这些体积的极限和，该值可以通过评估合适的积分找到。 通过尝试评估具有两个不同积分阶数的圆柱坐标系中的三重积分，可以给出更严格的理由。

当绘制的切片垂直于旋转轴时，使用圆盘法； 即平行于旋转轴积分时。

通过围绕 y 轴旋转 f(y) 和 g(y) 曲线与直线 y = a 和 y = b 之间的区域而形成的固体体积由下式给出

V = π ∫ a b | f ( y ) 2 − g ( y ) 2 | 是的。 {\displaystyle V=\pi \int _{a}{b}\left|f(y){2}-g(y){2}\right|\,dy\,. }

如果 g(y) = 0（例如，旋转曲线和 y 轴之间的区域），则简化为：

V = π ∫ a b f ( y ) 2 d y 。 {\displaystyle V=\pi \int _{a}{b}f(y){2}\,dy\,.}

该方法可以通过考虑在顶部的 f(y) 和底部的 g(y) 之间的 y 处的细水平矩形并绕 y 轴旋转来可视化； 它形成一个环（或在 g(y) = 0 的情况下为圆盘），外径为 f(y)，内径为 g(y)。 环的面积为 π(R2 − r2)，其中 R 是外半径（在本例中为 f(y)），r 是内半径（在本例中为 g(y)）。 因此，每个无穷小圆盘的体积为 πf(y)2 dy。 a 和 b 之间的圆盘体积的黎曼和的极限变为积分 (1)。

假设富比尼定理和多变量变量变化公式的适用性，圆盘法可以直接推导出来（将固体表示为 D）：

V = ∭ D d V = ∫ a b ∫ g ( z ) f ( z ) ∫ 0 2 π r d θ d r d z = 2 π ∫ a b ∫ g ( z ) f ( z ) r d r d z = 2 π ∫ a b 1 2 r 2 ‖ g ( z ) f ( z ) d z = π ∫ a b f ( z ) 2 − g ( z ) 2 d z {\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}{b} int _{g(z)}{f(z)}\int _{0}{2\pi }r\,d\theta \,dr\,dz=2\pi int _{a}{b}\int _{g(z)}{f(z)}r\,dr\,dz=2\pi \int _{a}{b}{ \frac {1}{2}}r{2}\Vert _{g(z)}{f(z)}\,dz=\pi \int _{a}{b}f( z){2}-g(z){2}\,dz}

当绘制的切片平行于旋转轴时，使用圆柱方法； 即垂直于旋转轴积分时。

通过绕 y 轴旋转 f(x) 和 g(x) 曲线与直线 x = a 和 x = b 之间的区域形成的固体体积由下式给出

V = 2 π ∫ a b x | f ( x ) − g ( x ) | d x 。 {\displaystyle V=2\pi \int _{a}{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}

如果 g(x) = 0（例如，旋转曲线和 y 轴之间的区域），这将简化为：

V = 2 π ∫ a b x | f ( x ) | d x 。 {\displaystyle V=2\pi \int _{a}{b}x|f(x)|\,dx\,.}

该方法可以通过在 x 处考虑一个高度为 f(x) − g(x) 的薄垂直矩形并绕 y 轴旋转来形象化； 它形成一个圆柱壳。 圆柱体的侧面积为 2πrh，其中 r 是半径（在本例中为 x），h 是高度（在本例中为 f(x) − g(x)）。 将沿区间的所有表面积相加得出总体积。

这种方法可以用相同的三重积分推导出来，这次用不同的积分顺序：

V = ∭ D d V = ∫ a b ∫ g ( r ) f ( r ) ∫ 0 2 π r d θ d z d r = 2 π ∫ a b ∫ g ( r ) f ( r ) r d z d r = 2 π ∫ a b r ( f ( r ) − g ( r ) ) d r 。 {\displaystyle V=\iiint _{D}dV=\int _{a}{b}\int _{g(r)}{f(r)}\int _{0}{2 \pi }r\,d\theta \,dz\,dr=2\pi \int _{a}{b}\int _{g(r)}{f(r) }r\,dz\,dr=2\pi \int _{a}{b}r(f(r)-g(r))\,dr.}

旋转体示范

当曲线由其参数形式 (x(t),y(t)) 在某个区间 [a,b] 中定义时，通过围绕 x 轴或 y 轴旋转曲线生成的固体的体积是 由

V x = ∫ a b π y 2 d x d t d t , {\displaystyle V_{x}=\int _{a}{b}\pi y{2}\,{\frac {dx}{dt}} \,dt\,