量子测量

在量子物理学中，测量是对物理系统进行测试或操作以产生数值结果。 量子物理学所做的预测通常是概率性的。 用于预测可能发生的测量结果的数学工具是在 20 世纪开发的，并利用了线性代数和泛函分析。

量子物理学已被证明是经验上的成功，并具有广泛的适用性。 然而，在更哲学的层面上，关于测量概念的意义的争论仍在继续。

在量子力学中，每个物理系统都与一个希尔伯特空间相关联，其中的每个元素代表物理系统的一种可能状态。 这些可观察量扮演着经典物理学中熟悉的可测量量的角色：位置、动量、能量、角动量等。 希尔伯特空间的维数可能是无限大的，因为它是直线上平方可积函数的空间，用来定义连续自由度的量子物理学。许多对该理论的处理都集中在有限维的情况下，因为所涉及的数学要求不高。 事实上，关于量子力学的介绍性物理文本经常掩盖连续值可观察量和无限维希尔伯特空间出现的数学技术细节，例如有界和无界算子之间的区别； 收敛性问题（希尔伯特空间元素序列的极限是否也属于希尔伯特空间），特征值集的奇异可能性，如康托尔集； 等等。

冯·诺依曼可观测值的特征向量形成希尔伯特空间的正交基，并且该测量的每个可能结果对应于构成基的向量之一。 密度算子是 Hilbert 空间上的半正定算子，其迹等于 1。对于可以定义的每个测量，可以从密度算子计算该测量结果的概率分布。

其中 ρ {\displaystyle \rho } 是密度算子，而 Π i {\displaystyle \Pi _{i}} 是投影算子到对应于测量结果 x i {\displaystyle x_{ 一世}} 。 冯·诺依曼可观测值的特征值的平均值，由玻恩规则概率加权，是该可观测值的期望值。

作为 rank-1 投影的密度算子被称为纯量子态，所有不纯的量子态都被指定为混合态。 纯态也称为波函数。 将纯态分配给量子系统意味着对该系统的某些测量结果的确定性（即 P ( x ) = 1 {\displaystyle P(x)=1} 对于某些结果 x {\displaystyle x} ） . 任何混合状态都可以写成纯状态的凸组合，尽管不是xxx的方式。 量子系统的状态空间是可以分配给它的所有纯态和混合态的集合。

玻恩规则将概率与希尔伯特空间中的每个单位向量相关联，这样一来，对于包含正交基的任何一组单位向量，这些概率总和为 1。 此外，与单位向量相关的概率是密度算子和单位向量的函数，而不是附加信息的函数，例如选择要嵌入的向量的基础。

格里森定理建立了相反的结论：所有赋值 满足这些条件的单位向量（或等价地，投射到它们上的算子）的概率采用将玻恩规则应用于某些密度算子的形式。

在泛函分析和量子测量理论中，正算子值测度 (POVM) 是一种测度，其值为希尔伯特空间上的半正定算子。 POVM 是投影值测量 (PVM) 的推广，相应地，POVM 描述的量子测量是 PVM 描述的量子测量的推广。