协变经典场论

在数学物理学中，协变经典场论通过纤维束的截面来表示经典场，并且它们的动力学是在场的有限维空间的背景下表述的。 如今，众所周知，射流束和变分双复形是此类描述的正确域。 协变经典场论的哈密顿变体是协变哈密顿场论，其中动量对应于场变量相对于所有世界坐标的导数。 非自主力学被表述为时间轴 ℝ 上纤维丛的协变经典场论。

下面给出了量子场论中感兴趣的经典场论的许多重要例子。 特别是，这些是构成粒子物理学标准模型的理论。 这些例子将用于讨论经典场论的一般数学公式。

• 标量场论
  • 克莱因-戈登理论
• 旋量理论
  • 狄拉克理论
  • 外尔理论
  • 马约拉纳理论
• 规范理论
  • 麦克斯韦理论
  • 杨-米尔斯理论。 这是非耦合理论列表中xxx包含相互作用的理论：Yang-Mills 包含自相互作用。

• Yukawa 耦合：标量场和旋量场的耦合。
• 标量电动力学/色动力学：标量场和规范场的耦合。
• 量子电动力学/色动力学：旋量场和规范场的耦合。 尽管这些被命名为量子理论，但拉格朗日量可以被视为经典场论。

为了形成经典场论，需要以下结构：

光滑流形 M {\displaystyle M} 。

这被称为世界流形（用于强调没有附加结构（如度量）的流形）、时空（当配备洛伦兹度量时）或用于更几何观点的基本流形。

时空通常带有额外的结构。 例子是

• 度量：M {\displaystyle M} 上的（伪）黎曼度量 g {\displaystyle \mathbf {g} }。
• 达到共形等价的度量

以及所需的方向结构，需要对所有流形 M {\displaystyle M} 进行积分的概念。

描述内部自由度的（连续）对称性的李群 G {\displaystyle G}。 通过李群-李代数对应对应的李代数表示为 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} 。 这称为仪表组。

在这里，我们将连接视为主要连接。 在场论中，这种联系也被视为协变导数 ∇ {\displaystyle \nabla } ，其对各种场的作用稍后定义。

表示为 A {\displaystyle {\mathcal {A}}} 的主连接是 P 上满足“投影”在主要连接文章中找到的详细信息。

在平凡化下， 当基本流形 M {\displaystyle M} 是平坦的时，可以通过简化来消除这种微妙之处。